Use o método das frações parciais para calcular as seguintes integrais:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que calcular a integral
usando o método das frações parciais. Isso envolve quebrar a fração em partes mais simples que podemos integrar facilmente. Para fazer isso, precisamos garantir que o grau do polinômio no numerador seja menor que o do denominador. Se não for, como neste caso, precisamos primeiro dividir os polinômios.
Passo 2
Vamos começar dividindo o polinômio do numerador pelo do denominador. Aqui, ambos os polinômios são de segundo grau (
), então faremos a divisão:
Isso acontece porque
dividido por
é 1, e o restante é
.
Passo 3
Agora, nossa integral fica:
Vamos resolver cada parte separadamente.
Passo 4
A primeira integral é simples:
Passo 5
Agora, vamos focar na segunda integral:
.
Primeiro, precisamos fatorar o denominador
. Procuramos dois números que multiplicados dão
e somados dão
. Esses números são
e
, então:
Passo 6
Agora, usamos o método das frações parciais para quebrar
em duas frações mais simples:
Precisamos encontrar os valores de
e
.
Passo 7
Multiplicamos ambos os lados pela expressão
para eliminar os denominadores:
Agora, vamos encontrar os valores de
e
.
Passo 8
Escolhemos valores de
que simplificam a equação:
-
Para
: -
Para
:
Passo 9
Substituímos
e
na expressão das frações parciais:
Passo 10
Agora, podemos integrar cada termo separadamente:
As integrais de
são logaritmos naturais.
Passo 11
Calculando as integrais:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A integral
é igual a: