Use o método das frações parciais para calcular as seguintes integrais: integral x^2x^2+x-6 d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que calcular a integral usando o método das frações parciais. Isso envolve quebrar a fração em partes mais simples que podemos integrar facilmente. Para fazer isso, precisamos garantir que o grau do polinômio no numerador seja menor que o do denominador. Se não for, como neste caso, precisamos primeiro dividir os polinômios.

Passo 2

Vamos começar dividindo o polinômio do numerador pelo do denominador. Aqui, ambos os polinômios são de segundo grau ( x^2x^2+x-6 = 1 + -x+6x^2+x-6 ), então faremos a divisão:
Isso acontece porque dividido por é 1, e o restante é .

Passo 3

Agora, nossa integral fica:
integral x^2x^2+x-6 dx = integral 1 , dx + integral -x+6x^2+x-6 dx
Vamos resolver cada parte separadamente.

Passo 4

A primeira integral é simples:
integral 1 , dx = x

Passo 5

Agora, vamos focar na segunda integral: x^2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2) .
Primeiro, precisamos fatorar o denominador . Procuramos dois números que multiplicados dão e somados dão . Esses números são e , então:

Passo 6

Agora, usamos o método das frações parciais para quebrar -x+6(x + 3)(x - 2) = Ax + 3 + Bx - 2 em duas frações mais simples:
Precisamos encontrar os valores de e .

Passo 7

Multiplicamos ambos os lados pela expressão -x + 6 = A(x - 2) + B(x + 3) para eliminar os denominadores:
Agora, vamos encontrar os valores de e .

Passo 8

Escolhemos valores de -2 + 6 = A(2 - 2) + B(2 + 3) Rightarrow 4 = 0 + 5B Rightarrow B = 45 que simplificam a equação:
  • Para 3 + 6 = A(-3 - 2) + B(-3 + 3) Rightarrow 9 = -5A + 0 Rightarrow A = -95 :
  • Para :

Passo 9

Substituímos -x+6(x + 3)(x - 2) = -95x + 3 + 45x - 2 = -95cdot1x + 3 + 45cdot1x - 2 e na expressão das frações parciais:

Passo 10

Agora, podemos integrar cada termo separadamente:
integral -x+6x^2+x-6 dx = -95 integral 1x + 3 dx + 45 integral 1x - 2 dx
As integrais de são logaritmos naturais.

Passo 11

Calculando as integrais:
-95 ln|x + 3| + 45 ln|x - 2| + C
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral x - 95 ln|x + 3| + 45 ln|x - 2| + C é igual a:

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