Calcule. integral 1x raizx^4-4 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com integrais que envolvem raízes quadradas e funções racionais. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição apropriada e aplicar algumas regras básicas de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a integral fazendo uma substituição. Vamos definir:
u = x^2
Então, derivando ambos os lados em relação a du = 2x , dx :
dx = du2x
Ou seja:

Passo 3

Agora, substituímos integral 1x raizx^4-4 , dx = integral 1x raizu^2-4 cdot du2x = 12 integral 1x^2 raizu^2-4 , du e 1x^2 = 1u na integral original:
12 integral 1u raizu^2-4 , du
Sabendo que , temos . Portanto:
A integral fica então:

Passo 4

Vamos fazer outra substituição para facilitar a integração. Seja:
v = raizu^2 - 4
Derivando ambos os lados em relação a dv = uraizu^2 -4 , du :
u , du = v , dv
Isolando du = v , dvu :
Então:

Passo 5

Substituindo na integral:
12 integral 1u cdot v cdot v , dvu = 12 integral 1u^2 , dv
Sabendo que u^2 = v^2 + 4 Rightarrow 1u^2 = 1v^2 + 4 , podemos expressar 12 integral 1v^2 + 4 , dv em termos de :
Então, a integral fica:

Passo 6

Essa é uma integral padrão que resulta na função arco-tangente. Sabemos que:
integral 1v^2 + a^2 , dv = 1a tan^-1(va) + C
No nosso caso, 12 integral 1v^2 + 4 , dv = 12 cdot 12 tan^-1(v2) + C = 14 tan^-1(v2) + C , então:

Passo 7

Agora, vamos desfazer as substituições que fizemos:
v = raizu^2 -4 = raiz(x^2)^2 -4 = raizx^4 -4
Portanto, a integral original é:
14 tan^-1( raizx^4 -4 2) + C

Resposta

A integral é igual a .

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