Calcule.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
. Aqui, estamos trabalhando com cálculo integral, especificamente com integrais que envolvem raízes quadradas e funções racionais. Para resolver, vamos precisar usar uma substituição apropriada e aplicar algumas regras básicas de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a integral fazendo uma substituição. Vamos definir:
Então, derivando ambos os lados em relação a
:
Ou seja:
Passo 3
Agora, substituímos
e
na integral original:
Sabendo que
, temos
. Portanto:
A integral fica então:
Passo 4
Vamos fazer outra substituição para facilitar a integração. Seja:
Derivando ambos os lados em relação a
:
Isolando
:
Então:
Passo 5
Substituindo na integral:
Sabendo que
, podemos expressar
em termos de
:
Então, a integral fica:
Passo 6
Essa é uma integral padrão que resulta na função arco-tangente. Sabemos que:
No nosso caso,
, então:
Passo 7
Agora, vamos desfazer as substituições que fizemos:
Portanto, a integral original é:
Resposta
A integral é igual a
.