Localize o fluxo de
através da superfície
.
e
é o hemisfério
, orientado para baixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para localizar o fluxo do campo vetorial
através da superfície
, que é metade de uma esfera definida por
com
. A superfície está orientada para baixo. Para resolver isso, vamos usar o conceito de fluxo em cálculo vetorial, que envolve calcular uma integral de superfície. Vamos precisar entender o que é fluxo, como parametrizar a superfície e aplicar o teorema da divergência se necessário.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é fluxo. O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície mede a quantidade de “fluxo” que passa por essa superfície. Matematicamente, é dado pela integral de superfície:
Onde
é o campo vetorial e
é o vetor área da superfície.
Passo 3
Para calcular esse fluxo, podemos usar o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo através de uma superfície fechada com a integral da divergência do campo sobre o volume delimitado por essa superfície. Porém, nossa superfície
é apenas o hemisfério, então precisamos fechá-la adicionando a base, que é o círculo
no plano
.
Passo 4
Vamos aplicar o Teorema da Divergência:
Onde
é a superfície fechada composta pelo hemisfério
e pela base
, e
é o volume interno a essa superfície.
Passo 5
Primeiro, calculamos a divergência de
:
Passo 6
Agora, calculamos a integral de volume:
Como
é a metade de uma esfera de raio
, o volume de uma esfera completa é
, então metade é:
Portanto,
Passo 7
Segundo o Teorema da Divergência:
Mas
é composta pelo hemisfério
e pela base
, então:
Passo 8
Agora, precisamos calcular o fluxo através da base
. No plano
, o campo vetorial fica:
O vetor normal à base, orientado para baixo, é
. Portanto,
Então,
Passo 9
Substituindo na equação anterior:
Portanto,
Resposta
O fluxo de
através da superfície
é
.