Localize o fluxo de F através da superfície S.
F(x, y, z) = < y, -x, 2z > e S é o hemisfério x^2 + y^2 + z^2 = 4, z ≥ 0, orientado para baixo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para localizar o fluxo do campo vetorial através da superfície S, que é metade de uma esfera definida por x^2 + y^2 + z^2 = 4 com z ≥ 0. A superfície está orientada para baixo. Para resolver isso, vamos usar o conceito de fluxo em cálculo vetorial, que envolve calcular uma integral de superfície. Vamos precisar entender o que é fluxo, como parametrizar a superfície e aplicar o teorema da divergência se necessário.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é fluxo. O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície mede a quantidade de “fluxo” que passa por essa superfície. Matematicamente, é dado pela integral de superfície:
Onde F é o campo vetorial e é o vetor área da superfície.

Passo 3

Para calcular esse fluxo, podemos usar o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo através de uma superfície fechada com a integral da divergência do campo sobre o volume delimitado por essa superfície. Porém, nossa superfície S é apenas o hemisfério, então precisamos fechá-la adicionando a base, que é o círculo x^2 + y^2 = 4 no plano z = 0.

Passo 4

Vamos aplicar o Teorema da Divergência:
Onde é a superfície fechada composta pelo hemisfério S e pela base B, e V é o volume interno a essa superfície.

Passo 5

Primeiro, calculamos a divergência de F:

Passo 6

Agora, calculamos a integral de volume:
Como V é a metade de uma esfera de raio , o volume de uma esfera completa é , então metade é:
Portanto,

Passo 7

Segundo o Teorema da Divergência:
Mas é composta pelo hemisfério S e pela base B, então:

Passo 8

Agora, precisamos calcular o fluxo através da base B. No plano z = 0, o campo vetorial fica:
O vetor normal à base, orientado para baixo, é . Portanto,
Então,

Passo 9

Substituindo na equação anterior:
Portanto,

Resposta

O fluxo de F através da superfície S é .

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