Calcule a integral do campo
sobre a curva
dada pela função vetorial
.
e
.
Passo 1
Vamos calcular a integral de linha do campo vetorial
ao longo da curva
definida pela função vetorial
. Aqui, estamos trabalhando com integração em campos vetoriais, utilizando conceitos de cálculo vetorial. Para resolver isso, precisamos parametrizar a curva, encontrar a derivada de
, calcular o produto escalar com
e integrar de
até
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função vetorial que descreve a curva
:
Essa parametrização nos permite expressar
e
em termos de
:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada de
em relação a
, que é
:
Essa derivada representa o vetor tangente à curva em cada ponto
.
Passo 4
Em seguida, substituímos
e
na função vetorial
:
Isso nos dá o campo vetorial
ao longo da curva parametrizada.
Passo 5
Agora, calculamos o produto escalar de
com
:
Esse produto escalar será a função que vamos integrar em relação a
.
Passo 6
Finalmente, integramos a expressão resultante de
até
:
Calculando as integrais:
Resposta
A integral do campo
sobre a curva
é
.