Calcule a integral do campo F sobre a curva C dada pela função vetorial r(t).
F(x, y) = <x y^2, -x^2> e r(t) = < t^3, t^2 >, 0 <= t <= 1.

Passo 1

Vamos calcular a integral de linha do campo vetorial F ao longo da curva C definida pela função vetorial r(t). Aqui, estamos trabalhando com integração em campos vetoriais, utilizando conceitos de cálculo vetorial. Para resolver isso, precisamos parametrizar a curva, encontrar a derivada de r(t), calcular o produto escalar com F e integrar de até .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função vetorial que descreve a curva C:
Essa parametrização nos permite expressar x e y em termos de t:

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada de r(t) em relação a t, que é :
Essa derivada representa o vetor tangente à curva em cada ponto t.

Passo 4

Em seguida, substituímos x(t) e y(t) na função vetorial :
Isso nos dá o campo vetorial F ao longo da curva parametrizada.

Passo 5

Agora, calculamos o produto escalar de com :
Esse produto escalar será a função que vamos integrar em relação a t.

Passo 6

Finalmente, integramos a expressão resultante de até :
Calculando as integrais:

Resposta

A integral do campo F sobre a curva C é 1/20.

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