O quadrado de vértices
e
está inscrito em uma circunferência. Calcule a razão entre a área do círculo limitado pela circunferência e a área do quadrado.
Passo 1
Então, a gente tem um quadrado com os vértices nos pontos
,
,
e
. A questão pede para a gente achar a razão entre a área do círculo que passa por todos esses vértices (ou seja, está inscrito no quadrado) e a área do próprio quadrado. Vamos precisar saber como calcular áreas de quadrados e círculos, além de entender como esses dois se relacionam quando um está inscrito no outro.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a área do quadrado. Olhando para os vértices, percebemos que os lados do quadrado estão alinhados com os eixos coordenados. Por exemplo, de
a
, o movimento é horizontal de 1 para 3 no eixo
, ou seja, com comprimento
. De
a
, o movimento é vertical de 2 para 4 no eixo
, também com comprimento
. Então, cada lado do quadrado mede 2 unidades.
A área do quadrado é dada por:
Passo 3
Agora, vamos determinar a área do círculo inscrito no quadrado. Para isso, precisamos encontrar o raio do círculo. Quando um quadrado está inscrito em um círculo, a diagonal do quadrado é igual ao diâmetro do círculo.
Primeiro, encontramos a diagonal do quadrado. Para um quadrado com lado
, a diagonal
é:
Aqui,
, então:
O diâmetro do círculo é
, então o raio
é a metade disso:
Passo 4
Com o raio encontrado, podemos calcular a área do círculo usando a fórmula:
Substituindo
:
Resposta
A razão entre a área do círculo e a área do quadrado é
.