O quadrado de vértices A(1,4), B(1,2), C(3,2) e D(3,4) está inscrito em uma circunferência. Calcule a razão entre a área do círculo limitado pela circunferência e a área do quadrado. pi / 2

Passo 1

Então, a gente tem um quadrado com os vértices nos pontos A(1,4), , e D(3,4). A questão pede para a gente achar a razão entre a área do círculo que passa por todos esses vértices (ou seja, está inscrito no quadrado) e a área do próprio quadrado. Vamos precisar saber como calcular áreas de quadrados e círculos, além de entender como esses dois se relacionam quando um está inscrito no outro.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a área do quadrado. Olhando para os vértices, percebemos que os lados do quadrado estão alinhados com os eixos coordenados. Por exemplo, de a , o movimento é horizontal de 1 para 3 no eixo x, ou seja, com comprimento . De a A(1,4), o movimento é vertical de 2 para 4 no eixo y, também com comprimento . Então, cada lado do quadrado mede 2 unidades.
A área do quadrado é dada por:
Á

Passo 3

Agora, vamos determinar a área do círculo inscrito no quadrado. Para isso, precisamos encontrar o raio do círculo. Quando um quadrado está inscrito em um círculo, a diagonal do quadrado é igual ao diâmetro do círculo.
Primeiro, encontramos a diagonal do quadrado. Para um quadrado com lado s, a diagonal d é:
Aqui, , então:
O diâmetro do círculo é 2 * raiz(2), então o raio r é a metade disso:

Passo 4

Com o raio encontrado, podemos calcular a área do círculo usando a fórmula:
Áí
Substituindo :
Áí

Resposta

A razão entre a área do círculo e a área do quadrado é pi / 2.

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