Calcule a integral. integral 3 x^3-x^2+6 x-4(x^2+1)(x^2+2) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral 3 x^3-x^2+6 x-4(x^2+1)(x^2+2) dx. O assunto aqui é cálculo de integrais que envolvem frações racionais. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de frações parciais, que ajuda a quebrar a fração complicada em partes mais simples que a gente sabe integrar facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a fração 3 x^3-x^2+6 x-4(x^2+1)(x^2+2) em frações parciais. Como os denominadores são polinômios quadráticos irredutíveis, a gente assume a forma:
3 x^3-x^2+6 x-4(x^2+1)(x^2+2) = A x + Bx^2+1 + C x + Dx^2+2

Passo 3

Agora, vamos multiplicar ambos os lados pela expressão (x^2+1)(x^2+2) para eliminar os denominadores:
3x^3 - x^2 + 6x - 4 = (A x + B)(x^2+2) + (C x + D)(x^2+1)

Passo 4

Expandindo o lado direito:
3x^3 - x^2 + 6x - 4 = A x^3 + 2A x + B x^2 + 2B + C x^3 + C x + D x^2 + D
Agrupando os termos semelhantes:
3x^3 - x^2 + 6x - 4 = (A + C)x^3 + (B + D)x^2 + (2A + C)x + (2B + D)

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes de cada lado da equação:
A + C = 3 (coeficiente de x^3) B + D = -1 (coeficiente de x^2) 2A + C = 6 (coeficiente de x) 2B + D = -4 (termo constante)

Passo 6

Resolvendo o sistema de equações:
  1. De A + C = 3 e 2A + C = 6, subtraindo a primeira da segunda:
    2A + C - (A + C) = 6 - 3 Rightarrow A = 3
  2. Substituindo A = 3 em A + C = 3:
    3 + C = 3 Rightarrow C = 0
  3. De B + D = -1 e 2B + D = -4, subtraindo a primeira da segunda:
    2B + D - (B + D) = -4 - (-1) Rightarrow B = -3
  4. Substituindo B = -3 em B + D = -1:
    -3 + D = -1 Rightarrow D = 2

Passo 7

Agora que temos A = 3, B = -3, C = 0 e D = 2, substituímos de volta na decomposição:
3 x^3-x^2+6 x-4(x^2+1)(x^2+2) = 3x - 3x^2+1 + 0x + 2x^2+2 = 3x - 3x^2+1 + 2x^2+2

Passo 8

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
  1. Integração de 3xx^2+1:
    Seja u = x^2 + 1, então du = 2x dx, o que nos dá 32 integral duu = 32 ln|x^2+1|
  2. Integração de -3x^2+1:
    Sabemos que integral dxx^2+1 = arctan x, então -3 arctan x
  3. Integração de 2x^2+2:
    Fatorando o denominador, temos 2 integral dxx^2+2 = 2 cdot 1raiz2 arctan(xraiz2) = raiz2 arctan(xraiz2)

Resposta

Juntando todos os resultados, a integral é:
32 ln(x^2+1) - 3 arctan x + raiz2 arctan(xraiz2) + C
Onde C é a constante de integração.

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