Calcule a integral.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . O assunto aqui é cálculo de integrais que envolvem frações racionais. Para resolver, vamos precisar usar a técnica de frações parciais, que ajuda a quebrar a fração complicada em partes mais simples que a gente sabe integrar facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos decompor a fração em frações parciais. Como os denominadores são polinômios quadráticos irredutíveis, a gente assume a forma:

Passo 3

Agora, vamos multiplicar ambos os lados pela expressão para eliminar os denominadores:

Passo 4

Expandindo o lado direito:
Agrupando os termos semelhantes:

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos correspondentes de cada lado da equação:

Passo 6

Resolvendo o sistema de equações:
  1. De e , subtraindo a primeira da segunda:
  2. Substituindo em :
  3. De e , subtraindo a primeira da segunda:
  4. Substituindo em :

Passo 7

Agora que temos , , e , substituímos de volta na decomposição:

Passo 8

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
  1. Integração de :
    Seja , então , o que nos dá
  2. Integração de :
    Sabemos que , então
  3. Integração de :
    Fatorando o denominador, temos

Resposta

Juntando todos os resultados, a integral é:
Onde é a constante de integração.

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Calcule a integral ou mostre que ela é divergente.