Calcule a integral.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de em relação a
. Isso está relacionado ao cálculo de integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar expandir a expressão e aplicar identidades trigonométricas que facilitam a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos expandir . Lembrando que
, temos:
Passo 3
Agora, vamos substituir essa expansão na integral original:
Podemos separar a integral em três partes:
Passo 4
Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente. Começando com a primeira:
Para integrar produtos de funções trigonométricas, podemos usar identidades de produto para somar.
Sabemos que:
Então,
A primeira parte é simples de integrar:
Para a segunda parte, usamos a identidade novamente:
Então,
Juntando tudo:
Passo 5
Agora, vamos para a segunda integral:
Primeiro, note que pode ser simplificado usando a identidade:
Então, a integral fica:
Usando a identidade do produto para seno e cosseno:
Aqui,
, então:
Passo 6
Agora, a terceira integral:
Usamos a identidade para :
Substituindo na integral:
A primeira parte já sabemos integrar:
Para a segunda parte, usamos novamente a identidade:
Então,
Juntando tudo:
Passo 7
Agora, vamos somar todas as partes que calculamos:
- Da primeira integral:
- Da segunda integral:
- Da terceira integral:
Somando tudo:
Simplificando os termos semelhantes:
Portanto, sobra:
Resposta
A integral de é igual a , onde
é a constante de integração.
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