Calcule a integral.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral de em relação a . Isso está relacionado ao cálculo de integrais envolvendo funções trigonométricas. Para resolver, vamos precisar expandir a expressão e aplicar identidades trigonométricas que facilitam a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos expandir . Lembrando que , temos:

Passo 3

Agora, vamos substituir essa expansão na integral original:
Podemos separar a integral em três partes:

Passo 4

Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente. Começando com a primeira:
Para integrar produtos de funções trigonométricas, podemos usar identidades de produto para somar.
Sabemos que:
Então,
A primeira parte é simples de integrar:
Para a segunda parte, usamos a identidade novamente:
Então,
Juntando tudo:

Passo 5

Agora, vamos para a segunda integral:
Primeiro, note que pode ser simplificado usando a identidade:
Então, a integral fica:
Usando a identidade do produto para seno e cosseno:
Aqui, , então:

Passo 6

Agora, a terceira integral:
Usamos a identidade para :
Substituindo na integral:
A primeira parte já sabemos integrar:
Para a segunda parte, usamos novamente a identidade:
Então,
Juntando tudo:

Passo 7

Agora, vamos somar todas as partes que calculamos:
  1. Da primeira integral:
  1. Da segunda integral:
  1. Da terceira integral:
Somando tudo:
Simplificando os termos semelhantes:
Portanto, sobra:

Resposta

A integral de é igual a , onde é a constante de integração.

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