Calcule a integral ou mostre que ela é divergente.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a integral imprópria
ou mostrar que ela é divergente. Isso envolve o conteúdo de cálculo integral, especificamente integrais impróprias. Para resolver isso, vamos precisar aplicar técnicas de integração por partes e analisar o comportamento da função no infinito.
Passo 2
Vamos começar identificando as partes da integral para aplicar a integração por partes. Lembre-se que a integração por partes é baseada na fórmula:
Aqui, podemos escolher
e
.
Passo 3
Agora, vamos calcular
e
:
- Derivada de
:
- Integral de
:
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Simplificando:
Já sabemos que
, então:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Agora, vamos avaliar a integral definida de 1 até o infinito:
Calculando o limite quando
tende ao infinito:
Porque
cresce mais devagar que qualquer potência de
, e
no denominador faz com que todo termo tenda a zero.
Para
:
Resposta
Portanto, a integral converge e seu valor é
.