Calcule a integral ou mostre que ela é divergente. integral1^infty ln xx^4 d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a integral imprópria integral1^infty ln xx^4 , dx ou mostrar que ela é divergente. Isso envolve o conteúdo de cálculo integral, especificamente integrais impróprias. Para resolver isso, vamos precisar aplicar técnicas de integração por partes e analisar o comportamento da função no infinito.

Passo 2

Vamos começar identificando as partes da integral para aplicar a integração por partes. Lembre-se que a integração por partes é baseada na fórmula:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, podemos escolher u = ln x e dv = 1x^4 , dx.

Passo 3

Agora, vamos calcular du e v:
  • Derivada de u = ln x:
du = 1x , dx
  • Integral de dv = 1x^4 , dx:
v = integral 1x^4 , dx = integral x^-4 , dx = x^-3-3 = -13x^3

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral ln xx^4 , dx = uv - integral v , du = ln x (-13x^3) - integral (-13x^3) cdot 1x , dx
Simplificando:
= -ln x3x^3 + 13 integral 1x^4 , dx
Já sabemos que integral 1x^4 , dx = -13x^3, então:
= -ln x3x^3 + 13 (-13x^3) = -ln x3x^3 - 19x^3 + C
Onde C é a constante de integração.

Passo 5

Agora, vamos avaliar a integral definida de 1 até o infinito:
integral1^infty ln xx^4 , dx = [-ln x3x^3 - 19x^3]1^infty
Calculando o limite quando x tende ao infinito:
limx to infty (-ln x3x^3 - 19x^3) = 0
Porque ln x cresce mais devagar que qualquer potência de x, e x^3 no denominador faz com que todo termo tenda a zero.
Para x = 1:
-ln 13(1)^3 - 19(1)^3 = -0 - 19 = -19

Resposta

Portanto, a integral converge e seu valor é 19.

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