Calcule a integral. integral1^2 x(x+1)^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral: . Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente uma integral definida. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de substituição, que é uma forma de simplificar integrais complicadas transformando variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da função que podemos substituir. Observando o denominador , parece uma boa candidata para substituição. Vamos deixar .

Passo 3

Agora, derivamos em relação a : , então . Isso nos ajuda a substituir na integral.

Passo 4

Também precisamos expressar em termos de . Sabendo que , podemos rearranjar para .

Passo 5

Substituindo tudo na integral original:
integral1^2 x(x+1)^2 , dx = integralu=2^u=3 u - 1u^2 , du
Aqui, ajustamos os limites de integração de para : quando , ; e quando , .

Passo 6

Agora, a integral ficou mais simples:
integral2^3 u - 1u^2 , du = integral2^3 ( uu^2 - 1u^2 ) , du = integral2^3 ( 1u - u^-2 ) , du
Dividimos a fração em duas partes para facilitar a integração.

Passo 7

Vamos integrar cada termo separadamente:
integral 1u , du = ln|u|
integral u^-2 , du = -u^-1 = -1u
Essas são fórmulas básicas de integrais.

Passo 8

Aplicando os limites de integração:
[ ln|u| + 1u ]2^3 = ( ln 3 + 13 ) - ( ln 2 + 12 )

Resposta

A integral vale .

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