Calcule:
a) integral-2^3(5+x-6 x^2) d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para calcular a integral definida de no intervalo de a . Aqui, estamos lidando com cálculo integral, especificamente integrando um polinômio. Para isso, vamos precisar aplicar as regras de integração para cada termo do polinômio.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a integral definida de uma função integrala^b f(x) ,dx = F(b) - F(a) de a é dada por:
onde é a antiderivada de . Nosso objetivo é encontrar a antiderivada de .

Passo 3

Vamos integrar cada termo separadamente:
  1. Integral de 5:
    A integral de uma constante integral 5 ,dx = 5x em relação a integral x ,dx = x^22 é integral -6x^2 ,dx = -6 cdot x^33 = -2x^3 . Então,
  2. Integral de :
    Usamos a regra da potência para integração, que diz que , onde é a constante de integração. Então,
  3. Integral de :
    Aplicando a regra da potência,

Passo 4

Agora, somamos todas as antiderivadas encontradas:
F(x) = 5x + x^22 - 2x^3

Passo 5

Aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz para avaliar integral-2^3 (5 + x - 6x^2) dx = F(3) - F(-2) nos limites superiores e inferiores e subtrair:
F(3) = 5(3) + (3)^22 - 2(3)^3 = 15 + 92 - 54 = 15 + 4,5 - 54 = -34,5
Vamos calcular F(-2) = 5(-2) + (-2)^22 - 2(-2)^3 = -10 + 42 - 2(-8) = -10 + 2 + 16 = 8 e :
  1. Calculando :
  1. Calculando :

Resposta

Agora, subtraímos integral-2^3 (5 + x - 6x^2) dx = F(3) - F(-2) = -34,5 - 8 = -42,5 de :
Então, o valor da integral é .

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