Considere a função
(b)
Quais os pontos críticos de
? estude o crescimento e decrescimento
(b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e precisa encontrar os pontos críticos dessa função. Além disso, vamos estudar onde a função está crescendo ou decrescendo. Para isso, vamos usar conceitos de Cálculo Diferencial, especificamente derivadas para identificar os pontos críticos e analisar o comportamento da função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são pontos críticos. Eles ocorrem onde a derivada da função é igual a zero ou onde a derivada não existe. Esses pontos são importantes porque podem indicar máximos, mínimos ou pontos de inflexão na função.
Passo 3
Vamos começar calculando a derivada de
. Como temos uma função que é o quociente de duas funções, vamos usar a Regra do Quociente. A regra diz que se
, então:
No nosso caso,
e
. Vamos encontrar
e
.
Passo 4
Calculando as derivadas:
Passo 5
Agora, aplicando a Regra do Quociente:
Podemos simplificar o numerador fatorando
:
Simplificando mais:
Passo 6
Para encontrar os pontos críticos, igualamos a derivada a zero:
Como
nunca é zero, o numerador deve ser zero:
Resolvendo:
Então, os pontos críticos são
e
.
Passo 7
Agora, vamos analisar onde a função está crescendo ou decrescendo. Para isso, observamos o sinal da derivada
.
Sabemos que
para todo
, então o sinal de
depende apenas de
.
Vamos analisar as regiões divididas pelos pontos críticos
e
:
-
Para
: Então,→ Crescendo -
Para
: Então,→ Decrescendo -
Para
: Então,→ Crescendo
Resposta
Os pontos críticos da função
são
e
. A função está crescendo nos intervalos
e
e está decrescendo no intervalo
.
Exercícios relacionados
Sejam
e
. Encontre
tal que:
e v sejam paralelos
Calcule:
a)
a)
Uma reta no plano tem equação
.
Determine um vetor paralelo a esta reta.
Determine um vetor paralelo a esta reta.
Calcule:
g) ,
g)