Considere a função
(b) Quais os pontos críticos de ? estude o crescimento e decrescimento

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisa encontrar os pontos críticos dessa função. Além disso, vamos estudar onde a função está crescendo ou decrescendo. Para isso, vamos usar conceitos de Cálculo Diferencial, especificamente derivadas para identificar os pontos críticos e analisar o comportamento da função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são pontos críticos. Eles ocorrem onde a derivada da função é igual a zero ou onde a derivada não existe. Esses pontos são importantes porque podem indicar máximos, mínimos ou pontos de inflexão na função.

Passo 3

Vamos começar calculando a derivada de . Como temos uma função que é o quociente de duas funções, vamos usar a Regra do Quociente. A regra diz que se , então:
No nosso caso, e . Vamos encontrar e .

Passo 4

Calculando as derivadas:

Passo 5

Agora, aplicando a Regra do Quociente:
Podemos simplificar o numerador fatorando :
Simplificando mais:

Passo 6

Para encontrar os pontos críticos, igualamos a derivada a zero:
Como nunca é zero, o numerador deve ser zero:
Resolvendo:
Então, os pontos críticos são e .

Passo 7

Agora, vamos analisar onde a função está crescendo ou decrescendo. Para isso, observamos o sinal da derivada .
Sabemos que para todo , então o sinal de depende apenas de .
Vamos analisar as regiões divididas pelos pontos críticos e :
  1. Para :
    Então, Crescendo
  2. Para :
    Então, Decrescendo
  3. Para :
    Então, Crescendo

Resposta

Os pontos críticos da função são e . A função está crescendo nos intervalos e e está decrescendo no intervalo .

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Sejam e . Encontre tal que:
e v sejam paralelos
Calcule:
a)
Uma reta no plano tem equação .
Determine um vetor paralelo a esta reta.
Calcule:
g) ,