Calcule a integral.
72. integral xraiz1+x^2 d x

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo e qual matéria estamos trabalhando. Precisamos calcular a integral de em relação a . Esse exercício está dentro do tópico de Cálculo Integral, e para resolver, vamos precisar usar uma técnica chamada substituição.

Passo 2

A ideia da substituição é encontrar uma função dentro da integral que facilite a resolução. Vamos chamar o denominador interno da raiz de u = 1 + x^2 . Então, seja:

Passo 3

Agora, derivamos du = 2x , dx em relação a x , dx = du2 para encontrar :
Isso significa que:

Passo 4

Substituímos a expressão original da integral em termos de integral xraiz1 + x^2 , dx = integral 1raizu cdot du2 :
12 integral u^-1/2 , du
Simplificando:

Passo 5

Agora, integramos integral u^-1/2 , du = 2 u^1/2 + C :
12 times 2 u^1/2 + C = u^1/2 + C
Portanto:

Passo 6

Finalmente, voltamos para a variável original u^1/2 = raiz1 + x^2 :

Resposta

A integral é igual a , onde é a constante de integração.

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