Considere o problema de valor inicial
y' = t y (4 - y) / 3, y(0) = y0
(a) Determine como o comportamento da solução quando t aumenta depende do valor inicial y_n.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que tem a equação diferencial com a condição inicial . A gente vai precisar entender como soluções de equações diferenciais se comportam conforme o tempo aumenta, especialmente dependendo do valor inicial .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a equação diferencial:
Aqui, representa a derivada de em relação a , ou seja, a taxa de variação de ao longo do tempo.

Passo 3

Vamos observar os pontos onde , porque isso nos ajuda a encontrar os pontos de equilíbrio. Para isso, igualamos a equação a zero:
Isso acontece quando:
Esses são os valores de onde a taxa de variação é zero, ou seja, onde a solução pode se estabilizar.

Passo 4

Agora, precisamos entender como se comporta dependendo de :
  • Se : Como a equação tem multiplicando tudo, se for negativo, também será negativo (porque o é positivo à medida que aumenta). Isso significa que vai diminuir ainda mais.
  • Se : Nesse caso, está entre 0 e 4. Como é positivo (pois e ), vai aumentar conforme aumenta.
  • Se : Aqui, é um ponto de equilíbrio, então vai ficar constante, não mudando com o tempo.
  • Se : Agora, será negativo, fazendo com que seja negativo. Isso significa que vai diminuir rumo a 4 conforme aumenta.

Passo 5

Resumindo o que vimos:
  • Para valores iniciais menores que 0, diminui sem limites.
  • Para valores entre 0 e 4, aumenta até se aproximar de 4.
  • Para , permanece constante.
  • Para valores maiores que 4, diminui até se aproximar de 4.

Resposta

O comportamento da solução conforme aumenta depende do valor inicial da seguinte forma:
  • Se : diminui indefinidamente.
  • Se : aumenta e se aproxima de 4.
  • Se : permanece constante em 4.
  • Se : diminui e se aproxima de 4.

Exercícios relacionados

Se um funcionário da empresa nasceu entre 1970 e 1980 então ele trabalhou no posto A ou no posto B.
Calcule a integral.
72. integral xraiz1+x^2 d x
Encontre o ponto sobre a reta y^2 - x^2 = 4 que está mais próximo do ponto 2,0.
Considere um tanque de água com o formato de um cilindro circular reto com 3 m de altura acima do dreno. O tanque tem 1 m de raio e o raio da abertura circular do dreno é de 0,1 m . Se o tanque está cheio de água inicialmente, determine quanto tempo vai levar para esvaziar o tanque até o nível do dreno.
(resolva também para tanque em formato de cone, com ângulo de abertura theta_0 ).