Considere o problema de valor inicial
(a) Determine como o comportamento da solução quando
aumenta depende do valor inicial
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de valor inicial que tem a equação diferencial
com a condição inicial
. A gente vai precisar entender como soluções de equações diferenciais se comportam conforme o tempo
aumenta, especialmente dependendo do valor inicial
.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a equação diferencial:
Aqui,
representa a derivada de
em relação a
, ou seja, a taxa de variação de
ao longo do tempo.
Passo 3
Vamos observar os pontos onde
, porque isso nos ajuda a encontrar os pontos de equilíbrio. Para isso, igualamos a equação a zero:
Isso acontece quando:
Esses são os valores de
onde a taxa de variação é zero, ou seja, onde a solução pode se estabilizar.
Passo 4
Agora, precisamos entender como
se comporta dependendo de
:
-
Se
: Como a equação tem multiplicando tudo, se for negativo, também será negativo (porque o é positivo à medida que aumenta). Isso significa que vai diminuir ainda mais. -
Se
: Nesse caso, está entre 0 e 4. Como é positivo (pois e ), vai aumentar conforme aumenta. -
Se
: Aqui, é um ponto de equilíbrio, então vai ficar constante, não mudando com o tempo. -
Se
: Agora, será negativo, fazendo com que seja negativo. Isso significa que vai diminuir rumo a 4 conforme aumenta.
Passo 5
Resumindo o que vimos:
- Para valores iniciais menores que 0,
diminui sem limites. - Para valores entre 0 e 4,
aumenta até se aproximar de 4. - Para
, permanece constante. - Para valores maiores que 4,
diminui até se aproximar de 4.
Resposta
O comportamento da solução conforme
aumenta depende do valor inicial
da seguinte forma:
- Se
: diminui indefinidamente. - Se
: aumenta e se aproxima de 4. - Se
: permanece constante em 4. - Se
: diminui e se aproxima de 4.
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.
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