A matriz quadrada
cujos vetores linha são dados pelos vetores
e
possui determinante nulo se, e somente se,
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício diz que temos uma matriz quadrada
cujas linhas são os vetores
e
. A gente precisa mostrar que o determinante dessa matriz é zero se e somente se
. Para resolver isso, vamos lembrar como calcular o determinante de uma matriz
e ver em que condições ele se anula.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como montar a matriz com os vetores linha
e
. Supondo que
e
, a matriz fica assim:
Passo 3
Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. Para uma matriz
:
Isso é só a regra do determinante para matrizes
: multiplicamos os elementos da diagonal principal e subtraímos o produto dos elementos da diagonal secundária.
Passo 4
A condição do exercício é que o determinante seja nulo, ou seja:
Vamos resolver essa equação para encontrar a relação entre
e
.
Passo 5
Vamos isolar
na equa�o:
Passo 6
Para que essa relação seja equivalente a
, precisamos que:
Simplificando, dividimos ambos os lados por
(assumindo
):
Resposta
Portanto, o determinante da matriz é nulo se e somente se
.
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.
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.
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