Questões de cálculo de área: Calcule a área entre as curvas e no intervalo . Dica: Primeiro, encontre o ponto de interseção das curvas, divida o intervalo, e depois calcule a área separadamente em cada região.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de área! A gente precisa calcular a área entre as curvas e no intervalo de . Para isso, vamos precisar saber como encontrar pontos de interseção entre as curvas e usar integrais para calcular as áreas nas diferentes regiões.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar onde as duas curvas se cruzam. Para isso, igualamos as duas expressões de :

Passo 3

Agora, resolvemos essa equação para encontrar os valores de :
Isso é uma equação quadrática da forma . Podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Onde , e . Calculando o discriminante:
Então,
Isso nos dá duas soluções:
Como estamos trabalhando no intervalo , consideramos apenas .

Passo 4

Com o ponto de interseção em , dividimos o intervalo em duas partes: e .

Passo 5

Precisamos saber qual função está em cima em cada subintervalo para calcular a área corretamente. Vamos testar um ponto em cada intervalo:
  • Para (no intervalo ):
    Aqui, .
  • Para (no intervalo ):
    Aqui, .

Passo 6

Agora, configuramos as integrais para cada região:
  • No intervalo , a função de cima é e a de baixo é :
  • No intervalo , a função de cima é e a de baixo é :
Vamos calcular cada uma separadamente.
Calculando :
Integrando termo a termo:
Calculando :
Integrando termo a termo:
Calculando em :
Calculando em :
Então,

Resposta

A área total entre as curvas e no intervalo é:

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