Questões de cálculo de área: Calcule a área entre as curvas
e
no intervalo
. Dica: Primeiro, encontre o ponto de interseção das curvas, divida o intervalo, e depois calcule a área separadamente em cada região.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de área! A gente precisa calcular a área entre as curvas
e
no intervalo de
. Para isso, vamos precisar saber como encontrar pontos de interseção entre as curvas e usar integrais para calcular as áreas nas diferentes regiões.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar onde as duas curvas se cruzam. Para isso, igualamos as duas expressões de
:
Passo 3
Agora, resolvemos essa equação para encontrar os valores de
:
Isso é uma equação quadrática da forma
. Podemos resolver usando a fórmula de Bhaskara:
Onde
,
e
. Calculando o discriminante:
Então,
Isso nos dá duas soluções:
Como estamos trabalhando no intervalo
, consideramos apenas
.
Passo 4
Com o ponto de interseção em
, dividimos o intervalo
em duas partes:
e
.
Passo 5
Precisamos saber qual função está em cima em cada subintervalo para calcular a área corretamente. Vamos testar um ponto em cada intervalo:
-
Para
(no intervalo ): Aqui,. -
Para
(no intervalo ): Aqui,.
Passo 6
Agora, configuramos as integrais para cada região:
-
No intervalo
, a função de cima é e a de baixo é : -
No intervalo
, a função de cima é e a de baixo é :
Vamos calcular cada uma separadamente.
Calculando
:
Integrando termo a termo:
Calculando
:
Integrando termo a termo:
Calculando em
:
Calculando em
:
Então,
Resposta
A área total entre as curvas
e
no intervalo
é:
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Questões de cálculo de área: Um capacitor de placas paralelas tem uma densidade de carga superficial
que varia com a posição
como
. Determine a carga total armazenada no capacitor ao longo de 0 a
, calculando a integral
.
Calcule a integral abaixo por frações parciais:
Encontre a expansão em série de Fourier da função periódica de período
.
.
Encontre a expansão em série de Fourier da função periódica de período
.
, se
.