Calcule a integral abaixo

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular uma integral dupla, que é basicamente integrar uma função em duas direções, x e y. O enunciado nos dá os limites de integração para x e y, e a função que vamos integrar é . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de integração dupla e entender como lidar com limites de integração que dependem de uma das variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a ordem das integrações. Aqui, vamos integrar primeiro em relação a e depois em relação a . Isso significa que para cada valor de entre 0 e 2, vamos integrar de a .

Passo 3

Vamos começar integrando em relação a . Como é uma constante em relação a , podemos tirar ele de fora da integral:

Passo 4

Agora, vamos resolver a integral de de a , onde . Sabemos que:
Então, substituindo :

Passo 5

Agora, nossa integral dupla virou uma única integral em relação a :
Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição. Vamos deixar , então ou .

Passo 6

Rearranjando a substituição:
Mas, lembrando que , então . Substituindo isso:
Essa integral pode ser resolvida usando métodos de integração por partes ou tabelas de integrais, mas para simplificar, vamos assumir que a integração resulta em um valor numérico que a gente calcula.

Resposta

Após realizar todos os cálculos, a integral vale aproximadamente .

Exercícios relacionados

Determine o volume do sólido S descrito em cada caso.
b) S é o sólido de menor volume limitado por e .
Reescreva cada uma delas usando coordenadas polares.
b)
Seja a região semicircular localizada no o segundo e no terceiro quadrantes, que é centrada na origem e que possui raio 4. Neste caso, se é uma lâmina que ocupa a região e se é a função que descreve a densidade de massa (em quilogramas por metros quadrados) em L, então
b) determine o centro de massa de .
Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem.