Seja a região semicircular localizada no o segundo e no terceiro quadrantes, que é centrada na origem e que possui raio 4. Neste caso, se é uma lâmina que ocupa a região e se é a função que descreve a densidade de massa (em quilogramas por metros quadrados) em L, então
b) determine o centro de massa de .
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma região semicircular que está localizada no segundo e terceiro quadrantes, centrada na origem e com raio 4. A densidade de massa dessa lámina é dada por . O objetivo aqui é encontrar o centro de massa de .
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de integrais duplas em coordenadas polares, já que estamos lidando com uma região circular e a densidade depende da distância ao centro.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que o centro de massa é dado pelas fórmulas:
Onde:
é a massa total da lâmina.
e são os momentos em relação aos eixos e , respectivamente.
Passo 3
Vamos calcular a massa total . Em coordenadas polares, , onde . A área está no segundo e terceiro quadrantes, portanto, o ângulo varia de a , e o raio vai de 0 a 4.
A massa é dada por:
Passo 4
Resolvendo a integral em :
Agora, a integral em :
Portanto, a massa total é:
Passo 5
Agora, vamos calcular o momento para encontrar :
Já sabemos que , então:
Passo 6
Resolvendo a integral de :
Então:
Passo 7
Agora, podemos encontrar :
Como a distribuição é simétrica em relação ao eixo , sabemos que .