Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar todas as derivadas parciais de segunda ordem da função , onde
e
são números reais. Isso envolve encontrar as derivadas
,
,
e
. Para resolver isso, vamos precisar usar as regras de derivação, como a regra da cadeia e a regra do produto.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem, ou seja,
e
. Para isso, vamos aplicar a regra da cadeia.
A função
pode ser escrita como , onde
.
A derivada de em relação a
é . Então, aplicando a regra da cadeia:
De forma similar:
Passo 3
Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de segunda ordem. Começaremos com
, que é a derivada de
em relação a
.
Usando a regra do produto e a regra da cadeia novamente:
Simplificando:
Usando a identidade trigonométrica :
Passo 4
Seguimos para
, que é a derivada de
em relação a
:
Aplicando a regra da cadeia:
Simplificando:
Usando novamente a identidade trigonométrica:
Passo 5
Agora,
é a derivada de
em relação a
:
Aplicando a regra da cadeia:
Simplificando:
Usando a identidade trigonométrica novamente:
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem da função são: