Determine todas as derivadas parciais de segunda ordem.
f(x, y) = sen^2(m x + n y), m, n in R

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar todas as derivadas parciais de segunda ordem da função , onde e são números reais. Isso envolve encontrar as derivadas , , e . Para resolver isso, vamos precisar usar as regras de derivação, como a regra da cadeia e a regra do produto.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem, ou seja, e . Para isso, vamos aplicar a regra da cadeia.
A função pode ser escrita como , onde .
A derivada de em relação a é . Então, aplicando a regra da cadeia:
De forma similar:

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de segunda ordem. Começaremos com , que é a derivada de em relação a .
Usando a regra do produto e a regra da cadeia novamente:
Simplificando:
Usando a identidade trigonométrica :

Passo 4

Seguimos para , que é a derivada de em relação a :
Aplicando a regra da cadeia:
Simplificando:
Usando novamente a identidade trigonométrica:

Passo 5

Agora, é a derivada de em relação a :
Aplicando a regra da cadeia:
Simplificando:
Usando a identidade trigonométrica novamente:

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem da função são:

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