Determine o volume do sólido S descrito em cada caso.
b) S é o sólido de menor volume limitado por e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício! A gente precisa determinar o volume do sólido que é o menor volume limitado pelas superfícies e . Para isso, vamos usar cálculo, mais especificamente integrais em coordenadas cilíndricas, já que as equações apresentam simetria circular.
Passo 2
Primeiro, vamos entender as equações dadas:
pode ser rearranjada para , que é a equação de uma esfera de raio 1 centrada na origem.
representa um cone circular reto, já que depende da distância do ponto ao eixo .
Passo 3
Queremos encontrar a região onde essas duas superfícies se intersectam, pois isso vai delimitar o nosso sólido . Para isso, igualamos as duas expressões para :
Substituindo na equação da esfera:
Isso significa que a interse�o ocorre quando e .
Passo 4
Agora, para calcular o volume entre a esfera e o cone, vamos usar coordenadas cilíndricas, onde , , e . Nesse sistema, a equação da esfera vira:
E a do cone:
Passo 5
O volume será calculado integrando a diferença entre as funções superiores e inferiores em . Nesse caso, a esfera está acima do cone até a interseção. Portanto, os limites de integração para vão de até .
O raio varia de 0 a (como vimos na interseção), e varia de 0 a .
Passo 6
A expressão para o volume em coordenadas cilíndricas é:
Vamos resolver essa integral passo a passo.
Passo 7
Primeiro, integramos em relação a :
Então, o volume fica:
Passo 8
Agora, vamos distribuir :
Vamos separar a integral em duas partes:
Passo 9
Vamos resolver cada integral uma de cada vez.
Primeiro, . Podemos usar substituição:
Deixe , então => .
Então,
Segundo, .
Passo 10
Aplicando os limites de integração para e :
E,
Passo 11
Agora, substituindo de volta na expressão do volume: