Determine o volume do sólido S descrito em cada caso.
b) S é o sólido de menor volume limitado por e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício! A gente precisa determinar o volume do sólido que é o menor volume limitado pelas superfícies e . Para isso, vamos usar cálculo, mais especificamente integrais em coordenadas cilíndricas, já que as equações apresentam simetria circular.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as equações dadas:
  1. pode ser rearranjada para , que é a equação de uma esfera de raio 1 centrada na origem.
  2. representa um cone circular reto, já que depende da distância do ponto ao eixo .

Passo 3

Queremos encontrar a região onde essas duas superfícies se intersectam, pois isso vai delimitar o nosso sólido . Para isso, igualamos as duas expressões para :
Substituindo na equação da esfera:
Isso significa que a interse�o ocorre quando e .

Passo 4

Agora, para calcular o volume entre a esfera e o cone, vamos usar coordenadas cilíndricas, onde , , e . Nesse sistema, a equação da esfera vira:
E a do cone:

Passo 5

O volume será calculado integrando a diferença entre as funções superiores e inferiores em . Nesse caso, a esfera está acima do cone até a interseção. Portanto, os limites de integração para vão de até .
O raio varia de 0 a (como vimos na interseção), e varia de 0 a .

Passo 6

A expressão para o volume em coordenadas cilíndricas é:
Vamos resolver essa integral passo a passo.

Passo 7

Primeiro, integramos em relação a :
Então, o volume fica:

Passo 8

Agora, vamos distribuir :
Vamos separar a integral em duas partes:

Passo 9

Vamos resolver cada integral uma de cada vez.
Primeiro, . Podemos usar substituição:
Deixe , então => .
Então,
Segundo, .

Passo 10

Aplicando os limites de integração para e :
E,

Passo 11

Agora, substituindo de volta na expressão do volume:

Passo 12

Agora, integrando em relação a :

Resposta

O volume do sólido é dado por:

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Reescreva cada uma delas usando coordenadas polares.
b)
Seja a região do primeiro quadrante localizada entre as curvas e . Neste caso, se é uma lâmina que ocupa a região e se é a função que descreve a densidade de carga (em coulombs por centímetros quadrados) em L, então determine a carga total de L.
Calcule a integral abaixo
Seja a região semicircular localizada no o segundo e no terceiro quadrantes, que é centrada na origem e que possui raio 4. Neste caso, se é uma lâmina que ocupa a região e se é a função que descreve a densidade de massa (em quilogramas por metros quadrados) em L, então
b) determine o centro de massa de .