Calcule a integral aproximada de I=integral0^2+110 cos (x^2) d x usando a Regra de Simpson 1 / 3 com n=2 repetiçōes ( 4 subintervalos).
Resposta:
I approx

Passo 1

Vamos calcular a integral aproximada de usando a Regra de Simpson com repetições (4 subintervalos). Isso envolve dividir o intervalo de integração em partes menores, avaliar a função nos pontos determinados e aplicar a fórmula de Simpson para obter uma aproximação da integral.

Passo 2

Primeiro, precisamos determinar o tamanho de cada subintervalo, que chamaremos de h = b - an . A fórmula para h = 2.1 - 04 = 2.14 = 0.525 é:
Onde:
  • (limite inferior da integral)
  • (limite superior da integral)
  • (número de subintervalos)
Calculando :

Passo 3

Agora, vamos determinar os pontos xi = a + i cdot h para i = 0, 1, 2, 3, 4 onde a função será avaliada. Esses pontos são dados por:
x0 &= 0 + 0 cdot 0.525 = 0 x1 &= 0 + 1 cdot 0.525 = 0.525 x2 &= 0 + 2 cdot 0.525 = 1.05 x3 &= 0 + 3 cdot 0.525 = 1.575 x4 &= 0 + 4 cdot 0.525 = 2.1
Calculando cada :

Passo 4

Em seguida, avaliamos a função f(x0) &= cos(0^2) = cos(0) = 1 f(x1) &= cos(0.525^2) approx cos(0.2756) approx 0.9619 f(x2) &= cos(1.05^2) approx cos(1.1025) approx 0.4534 f(x3) &= cos(1.575^2) approx cos(2.4806) approx -0.7815 f(x4) &= cos(2.1^2) approx cos(4.41) approx -0.3122 em cada ponto :

Passo 5

Agora, aplicamos a Regra de Simpson I approx h3 [ f(x0) + 4 cdot f(x1) + 2 cdot f(x2) + 4 cdot f(x3) + f(x4) ] . A fórmula geral é:
I approx 0.5253 [ 1 + 4(0.9619) + 2(0.4534) + 4(-0.7815) + (-0.3122) ]
Substituindo os valores encontrados:

Passo 6

Vamos calcular dentro dos colchetes:
1 + 4(0.9619) &= 1 + 3.8476 = 4.8476 2(0.4534) &= 0.9068 4(-0.7815) &= -3.126 -0.3122 &= -0.3122
Somando tudo:
4.8476 + 0.9068 - 3.126 - 0.3122 = 2.3162

Passo 7

Agora, multiplicamos pelo fator I approx 0.5253 times 2.3162 approx 0.175 times 2.3162 approx 0.4054 :

Resposta

I approx 0.4054

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