Calcule a integral:
(b) integral ln raizx d x

Passo 1

Beleza, vamos calcular a integral de ln√x em relação a x. Isso envolve conhecimentos de cálculo, especificamente integrais e propriedades dos logaritmos. Vamos precisar simplificar a expressão e usar a técnica de integração por partes para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar ln√x. Sabemos que √x é o mesmo que x^(1/2). Uma propriedade dos logaritmos diz que ln(a^b) = b * ln(a). Então, aplicando isso:
ln raizx = ln (x^1/2) = 12 ln x
Agora, nossa integral fica:
integral ln raizx , dx = integral 12 ln x , dx = 12 integral ln x , dx

Passo 3

Agora, precisamos resolver ∫ ln x dx. Para isso, vamos usar a técnica de integração por partes, que é útil quando temos o produto de duas funções. A fórmula é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Vamos escolher:
  • u = ln x (porque sua derivada é mais simples)
  • dv = dx (a parte restante)
Então, calculamos:
du = 1x dx v = integral dx = x

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral ln x , dx = x ln x - integral x cdot 1x dx = x ln x - integral 1 , dx = x ln x - x + C
Onde C é a constante de integração.

Resposta

Portanto, a integral de ln√x dx é:
12 ( x ln x - x ) + C

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