Calcule a integral:
(c) integral x10^x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Aqui estamos lidando com cálculo integral, especificamente com integrais que envolvem funções exponenciais. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre integração por partes, que é uma técnica útil quando temos o produto de duas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função x10^x = x cdot e^-x ln 10 de uma forma que facilite o uso da integração por partes. Sabemos que , então:

Passo 3

Agora, aplicamos a técnica de integração por partes, que é baseada na fórmula:
integral u , dv = uv - integral v , du
Vamos escolher u = x Rightarrow du = dx e dv = e^-x ln 10 dx Rightarrow v = e^-x ln 10-ln 10 de forma que simplifique a integral.
Escolha:

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral x cdot e^-x ln 10 dx = u cdot v - integral v cdot du
Substituindo = x cdot ( e^-x ln 10-ln 10 ) - integral ( e^-x ln 10-ln 10 ) dx , , :

Passo 5

Simplificando a expressão:
= -x e^-x ln 10ln 10 + 1ln 10 integral e^-x ln 10 dx
A integral restante é uma integral exponencial simples.

Passo 6

Calculando a integral exponencial:
integral e^-x ln 10 dx = e^-x ln 10-ln 10 + C
Então, substituindo de volta:
= -x e^-x ln 10ln 10 + 1ln 10 cdot ( e^-x ln 10-ln 10 ) + C

Passo 7

Simplificando os termos:
= -x e^-x ln 10ln 10 - e^-x ln 10(ln 10)^2 + C
Podemos fatorar = -e^-x ln 10 ( xln 10 + 1(ln 10)^2 ) + C :

Passo 8

Recordando que = -10^-x ( xln 10 + 1(ln 10)^2 ) + C , podemos reescrever a resposta final:

Resposta

integral x10^x dx = -10^-x ( xln 10 + 1(ln 10)^2 ) + C

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