Calcule a integral:
(g) integral0^pi / 3 sen x ln (cos x) d x

Passo 1

Beleza! A gente vai resolver a integral dada por:
integral0^pi / 3 sin x ln (cos x) , dx
Aqui, estamos lidando com integração, mais especificamente com técnicas de integração por partes. Vamos precisar usar a fórmula de integração por partes para resolver essa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a integração por partes. A fórmula é:
integral u , dv = uv - integral v , du
Nessa integral, vamos escolher partes para e . Vamos deixar:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar du = ddx ln(cos x) , dx = -sin xcos x , dx = -tan x , dx e v = -cos x :
  • Para , derivando em relação a :
  • Para , integrando em relação a :

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
integral sin x ln(cos x) , dx = uv - integral v , du
Substituindo = ln(cos x) cdot (-cos x) - integral (-cos x) cdot (-tan x) , dx , = -cos x ln(cos x) - integral cos x tan x , dx , :
Simplificando os sinais:

Passo 5

Agora, vamos simplificar a integral restante:
integral cos x tan x , dx
Sabemos que cos x cdot tan x = cos x cdot sin xcos x = sin x , então:
integral sin x , dx = -cos x + C
Portanto, a integral fica:

Passo 6

Voltando à expressão anterior:
- cos x ln(cos x) - (-cos x) = -cos x ln(cos x) + cos x
Agora, vamos substituir os limites de integração de a .

Passo 7

Avaliar na parte superior ( - cos(pi3) ln(cos(pi3)) + cos(pi3) ):
- 12 ln(12) + 12
Sabemos que - cos(0) ln(cos(0)) + cos(0) = -1 cdot ln(1) + 1 = 0 + 1 = 1 , então:
E na parte inferior ( ):

Passo 8

Subtraindo os valores:
( -12 ln(12) + 12 ) - 1 = -12 ln(12) - 12
Lembrando que - 12 (-ln 2) - 12 = 12 ln 2 - 12 , então:

Resposta

A integral vale:
12 ln 2 - 12

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