Calcule a integral:
Passo 1
Beleza! A gente vai resolver a integral dada por:
Aqui, estamos lidando com integração, mais especificamente com técnicas de integração por partes. Vamos precisar usar a fórmula de integração por partes para resolver essa integral.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a integração por partes. A fórmula é:
Nessa integral, vamos escolher partes para
e
. Vamos deixar:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar
e
:
-
Para
, derivando em relação a : -
Para
, integrando em relação a :
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo
,
,
:
Simplificando os sinais:
Passo 5
Agora, vamos simplificar a integral restante:
Sabemos que
, então:
Portanto, a integral fica:
Passo 6
Voltando à expressão anterior:
Agora, vamos substituir os limites de integração de
a
.
Passo 7
Avaliar na parte superior (
):
Sabemos que
, então:
E na parte inferior (
):
Passo 8
Subtraindo os valores:
Lembrando que
, então:
Resposta
A integral vale: