Calcule integral C(x-y) d x+(y-z) d y+x d z se C é a curva de (1,-2,3) a (-4,5,2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a integral de linha ao longo da curva que vai do ponto até . Para resolver isso, vamos usar o conceito de integração de linha em cálculo vetorial. Precisamos parametrizar a curva e depois calcular a integral usando essa parametrização.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva x(t) = 1 - 5t y(t) = -2 + 7t z(t) = 3 - t . Como não foi especificado o caminho, vamos assumir que é uma linha reta entre os dois pontos. Para isso, usamos um parâmetro que varia de 0 a 1.
As coordenadas parametrizadas ficam:
onde varia de 0 a 1.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas dessas funções em relação a dxdt = -5 dydt = 7 dzdt = -1 :

Passo 4

Substituímos (x - y) , dx + (y - z) , dy + x , dz , (1 - 5t - (-2 + 7t))(-5) + (-2 + 7t - (3 - t))7 + (1 - 5t)(-1) e na expressão da integral:
Ficando:

Passo 5

Vamos simplificar cada parte:
x - y &= 1 - 5t + 2 - 7t = 3 - 12t y - z &= -2 + 7t - 3 + t = -5 + 8t
Substituindo de volta na expressão:
(3 - 12t)(-5) + (-5 + 8t)(7) + (1 - 5t)(-1)
Simplificando:
-15 + 60t -35 +56t -1 +5t = -51 + 121t

Passo 6

Agora, integramos essa expressão em relação a integral0^1 (-51 + 121t) , dt = [-51t + 1212t^2]0^1 = -51 + 1212 = -51 + 60.5 = 9.5 de 0 a 1:

Resposta

A integral vale .

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