Seja:
f(x)= x+1, & se x >= 1 2 x, & se x<1
Calcule, se existir, lim x 1 f(x)-f(1)x-1

Passo 1

Vamos analisar o exercício que você enviou. Temos uma função definida por partes:
f(x)= x+1, & se x >= 1 2x, & se x < 1
O objetivo é calcular o limite:
limx 1 f(x) - f(1)x - 1
Esse tipo de limite está relacionado ao cálculo da derivada da função f(x) no ponto x = 1. Para resolver, vamos precisar entender como a função se comporta quando x se aproxima de 1 por valores maiores e menores que 1.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor de f(1). Como x = 1 está na condição x >= 1, usamos a primeira parte da função:
f(1) = 1 + 1 = 2

Passo 3

Agora, vamos reescrever o limite substituindo f(1) por 2:
limx 1 f(x) - 2x - 1
Para calcular esse limite, precisamos considerar os limites laterais, ou seja, quando x se aproxima de 1 pela direita ( x 1^+) e pela esquerda ( x 1^-).

Passo 4

Primeiro, calculamos o limite quando x se aproxima de 1 pela direita ( x >= 1). Nesse caso, usamos f(x) = x + 1:
limx 1^+ (x + 1) - 2x - 1 = limx 1^+ x - 1x - 1
Simplificando:
limx 1^+ 1 = 1

Passo 5

Agora, calculamos o limite quando x se aproxima de 1 pela esquerda ( x < 1). Aqui, usamos f(x) = 2x:
limx 1^- 2x - 2x - 1 = limx 1^- 2(x - 1)x - 1
Simplificando:
limx 1^- 2 = 2

Passo 6

Com os limites laterais calculados, observamos que:
limx 1^+ f(x) - f(1)x - 1 = 1 limx 1^- f(x) - f(1)x - 1 = 2

Resposta

Como os limites laterais são diferentes ( 1 neq 2), o limite limx 1 f(x) - f(1)x - 1 não existe.

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