Calcule
se C é o gráfico de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral de linha, que é uma maneira de somar valores ao longo de uma curva no espaço. O enunciado nos dá uma função vetorial e uma curva definida por
,
,
para
variando de 0 a 1. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de parametrização de curvas e calcular a integral de linha utilizando esses parâmetros.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma integral de linha. Basicamente, é uma soma ponderada ao longo de uma curva. A função que estamos integrando é
, e a curva
é definida pelas equações paramétricas dadas. Vamos substituir essas parametrizações na função
para expressá-la em termos de
.
Passo 3
Vamos escrever as componentes de
em termos de
:
Simplificando:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a derivada da posição em relação a
, ou seja,
:
Derivando cada componente:
Passo 5
A próxima etapa é calcular o produto escalar de
com
:
Simplificando cada termo:
Passo 6
Agora, vamos integrar essa expressão de
a
:
Vamos integrar termo a termo:
Passo 7
Agora, somamos todas as integrais e avaliamos de 0 a 1:
Substituindo
:
Substituindo
:
Portanto, a integral fica:
Resposta
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Encontre os focos, os vertices e as equações das diretrizes das cônicas abaixo. Faca um esboco da curva correspondente.
Encontre os focos, os vertices e as equações das diretrizes das cônicas abaixo. Faca um esboco da curva correspondente.
Calcule
se C é a curva de
a
.
Calcule
se
é a hélice
acost,
sent,
.