Calcule integralC x z d x+(y+z) d y+x d z se C é o gráfico de x=e^t, y=e^-t, z=e^2 t ; 0 <= t <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral de linha, que é uma maneira de somar valores ao longo de uma curva no espaço. O enunciado nos dá uma função vetorial e uma curva definida por , , para variando de 0 a 1. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de parametrização de curvas e calcular a integral de linha utilizando esses parâmetros.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral de linha. Basicamente, é uma soma ponderada ao longo de uma curva. A função que estamos integrando é , e a curva é definida pelas equações paramétricas dadas. Vamos substituir essas parametrizações na função para expressá-la em termos de .

Passo 3

Vamos escrever as componentes de F(x(t), y(t), z(t)) = ( x(t) z(t), y(t) + z(t), x(t) ) = ( e^t cdot e^2t, e^-t + e^2t, e^t ) em termos de F(t) = ( e^3t, e^-t + e^2t, e^t ) :
Simplificando:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a derivada da posição em relação a r(t) = ( e^t, e^-t, e^2t ) , ou seja, r'(t) = ( e^t, -e^-t, 2e^2t ) :
Derivando cada componente:

Passo 5

A próxima etapa é calcular o produto escalar de F(t) cdot r'(t) = e^3t cdot e^t + (e^-t + e^2t) cdot (-e^-t) + e^t cdot 2e^2t com = e^4t + (-e^-2t - e^t ) + 2e^3t :
= e^4t - e^-2t - e^t + 2e^3t
Simplificando cada termo:

Passo 6

Agora, vamos integrar essa expressão de integral0^1 ( e^4t - e^-2t - e^t + 2e^3t ) dt a integral e^4t dt = 14 e^4t :
integral -e^-2t dt = 12 e^-2t
Vamos integrar termo a termo:
integral -e^t dt = -e^t
integral 2e^3t dt = 23 e^3t

Passo 7

Agora, somamos todas as integrais e avaliamos de 0 a 1:
[ 14 e^4t + 12 e^-2t - e^t + 23 e^3t ]0^1
Substituindo 14 e^4 + 12 e^-2 - e + 23 e^3 :
14 e^0 + 12 e^0 - e^0 + 23 e^0 = 14 + 12 - 1 + 23 = 312 + 612 - 1212 + 812 = 512
Substituindo ( 14 e^4 + 12 e^-2 - e + 23 e^3 ) - 512 :
Portanto, a integral fica:

Resposta

14 e^4 + 12 e^-2 - e + 23 e^3 - 512

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