Calcule se C é o gráfico de .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral de linha, que é uma maneira de somar valores ao longo de uma curva no espaço. O enunciado nos dá uma função vetorial e uma curva definida por , , para variando de 0 a 1. Para resolver isso, vamos precisar usar o conceito de parametrização de curvas e calcular a integral de linha utilizando esses parâmetros.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma integral de linha. Basicamente, é uma soma ponderada ao longo de uma curva. A função que estamos integrando é , e a curva é definida pelas equações paramétricas dadas. Vamos substituir essas parametrizações na função para expressá-la em termos de .

Passo 3

Vamos escrever as componentes de em termos de :
Simplificando:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a derivada da posição em relação a , ou seja, :
Derivando cada componente:

Passo 5

A próxima etapa é calcular o produto escalar de com :
Simplificando cada termo:

Passo 6

Agora, vamos integrar essa expressão de a :
Vamos integrar termo a termo:

Passo 7

Agora, somamos todas as integrais e avaliamos de 0 a 1:
Substituindo :
Substituindo :
Portanto, a integral fica:

Resposta

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Encontre os focos, os vertices e as equações das diretrizes das cônicas abaixo. Faca um esboco da curva correspondente.
Encontre os focos, os vertices e as equações das diretrizes das cônicas abaixo. Faca um esboco da curva correspondente.
Calcule se C é a curva de a .
Calcule se é a hélice acost, sent, .