Encontre os focos, os vertices e as equações das diretrizes das cônicas abaixo. Faca um esboco da curva correspondente.
Passo 1
Beleza, galera! A gente tem aqui um exercício de cônicas, que são curvas como elipses, parábolas e hipérboles. A missão é encontrar os focos, os vértices e as equações das diretrizes da cônica descrita pela equação
. Além disso, vamos esboçar essa curva. Para isso, vamos precisar reescrever a equação na forma padrão da cônica e usar algumas fórmulas básicas relacionadas a ela.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação
na forma padrão. Isso ajuda a identificar rapidamente que tipo de cônica estamos lidando e quais são seus principais elementos.
Dividindo todos os termos por 14 para simplificar:
Agora, a equação está na forma padrão de uma hipérbole:
Passo 3
Identificamos aqui que temos uma hipérbole com a abertura no eixo y, porque o sinal positivo está associado a
. Então,
e
. Vamos encontrar os valores de
e
:
Passo 4
Para encontrar os focos, precisamos calcular
usando a relação para hipérboles:
Então, os focos estão localizados a uma distância
do centro ao longo do eixo y.
Passo 5
Os vértices da hipérbole estão localizados a uma distância
do centro ao longo do eixo y. Como o centro está na origem
, os vértices são:
Passo 6
Os focos, então, ficam em:
Passo 7
Agora, vamos determinar as equações das diretrizes. Para uma hipérbole com abertura no eixo y, as diretrizes são dadas por:
Passo 8
Por fim, para esboçar a hipérbole, seguimos esses passos:
- Marcar o centro na origem
. - Plotar os vértices em
e . - Plotar os focos em
e . - Desenhar as diretrizes como linhas horizontais aproximadas em
e . - Traçar a hipérbole abrindo para cima e para baixo, passando pelos vértices e se aproximando das diretrizes.
Resposta
Os focos da hipérbole são
e
. Os vértices estão em
e
. As equações das diretrizes são
. O esboço da curva mostra uma hipérbole com abertura vertical, centrada na origem.
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Encontre os focos, os vertices e as equações das diretrizes das cônicas abaixo. Faca um esboco da curva correspondente.
Encontre a solução geral para a equação diferencial dada.
Calcule
se C é o gráfico de
.
Calcule
se C é a curva de
a
.