Encontre os focos, os vertices e as equações das diretrizes das cônicas abaixo. Faca um esboco da curva correspondente.

Passo 1

Beleza, galera! A gente tem aqui um exercício de cônicas, que são curvas como elipses, parábolas e hipérboles. A missão é encontrar os focos, os vértices e as equações das diretrizes da cônica descrita pela equação . Além disso, vamos esboçar essa curva. Para isso, vamos precisar reescrever a equação na forma padrão da cônica e usar algumas fórmulas básicas relacionadas a ela.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão. Isso ajuda a identificar rapidamente que tipo de cônica estamos lidando e quais são seus principais elementos.
Dividindo todos os termos por 14 para simplificar:
Agora, a equação está na forma padrão de uma hipérbole:

Passo 3

Identificamos aqui que temos uma hipérbole com a abertura no eixo y, porque o sinal positivo está associado a . Então, e . Vamos encontrar os valores de e :

Passo 4

Para encontrar os focos, precisamos calcular usando a relação para hipérboles:
Então, os focos estão localizados a uma distância do centro ao longo do eixo y.

Passo 5

Os vértices da hipérbole estão localizados a uma distância do centro ao longo do eixo y. Como o centro está na origem , os vértices são:

Passo 6

Os focos, então, ficam em:

Passo 7

Agora, vamos determinar as equações das diretrizes. Para uma hipérbole com abertura no eixo y, as diretrizes são dadas por:

Passo 8

Por fim, para esboçar a hipérbole, seguimos esses passos:
  1. Marcar o centro na origem .
  2. Plotar os vértices em e .
  3. Plotar os focos em e .
  4. Desenhar as diretrizes como linhas horizontais aproximadas em e .
  5. Traçar a hipérbole abrindo para cima e para baixo, passando pelos vértices e se aproximando das diretrizes.

Resposta

Os focos da hipérbole são e . Os vértices estão em e . As equações das diretrizes são . O esboço da curva mostra uma hipérbole com abertura vertical, centrada na origem.

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Encontre a solução geral para a equação diferencial dada.
Calcule se C é o gráfico de .
Calcule se C é a curva de a .