Calcule se é a hélice acost, sent, .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular a integral ∫₍C₎ (x y + z) dS, onde C é uma hélice definida por:
Vamos utilizar conhecimentos de cálculo de integrais ao longo de curvas no espaço.

Passo 2

Primeiro, precisamos expressar a função que vamos integrar em termos do parâmetro . Temos:
Substituindo as parametrizações da hélice:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o elemento diferencial ao longo da curva C. Para isso, calculamos a derivada das coordenadas em relação a :
O diferencial de arco é dado por:
Simplificando:

Passo 4

Agora, substituímos e na integral original:
Podemos fatorar fora da integral:

Passo 5

Vamos separar a integral em duas partes:
Calculando cada integral:
Para :
Avaliado de a :
Para :
Avaliado de a :

Resposta

Juntando tudo, a integral vale:

Exercícios relacionados

Calcule se C é a curva de a .
Calcule se C é o gráfico de .
Seja:

Calcule, se existir,
Este exercício é um exemplo de que a regra da cadeia pode não valer se a função não for diferenciável.
Considere a função:
  1. Verifique que não é diferenciável em .