Calcule integralC(x y+z) d S se C é a hélice x= acost, y=a sent, z=bt ; 0 <= t <= 2 pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular a integral ∫₍C₎ (x y + z) dS, onde C é uma hélice definida por:
x = a cos t, y = a sin t, z = b t, 0 <= t <= 2pi
Vamos utilizar conhecimentos de cálculo de integrais ao longo de curvas no espaço.

Passo 2

Primeiro, precisamos expressar a função que vamos integrar em termos do parâmetro f(x, y, z) = x y + z . Temos:
f(t) = (a cos t)(a sin t) + b t = a^2 sin t cos t + b t
Substituindo as parametrizações da hélice:

Passo 3

Agora, vamos encontrar o elemento diferencial dxdt = -a sin t, dydt = a cos t, dzdt = b ao longo da curva C. Para isso, calculamos a derivada das coordenadas em relação a dS = raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 + (dzdt)^2 , dt = raiza^2 sin^2 t + a^2 cos^2 t + b^2 :
dS = raiza^2 (sin^2 t + cos^2 t) + b^2 = raiza^2 + b^2 , dt
O diferencial de arco é dado por:
Simplificando:

Passo 4

Agora, substituímos integralC (x y + z) , dS = integral0^2pi (a^2 sin t cos t + b t) raiza^2 + b^2 , dt e raiza^2 + b^2 integral0^2pi (a^2 sin t cos t + b t) , dt na integral original:
Podemos fatorar fora da integral:

Passo 5

Vamos separar a integral em duas partes:
raiza^2 + b^2 ( a^2 integral0^2pi sin t cos t , dt + b integral0^2pi t , dt )
Calculando cada integral:
Para integral sin t cos t , dt = 12 integral sin 2t , dt = -14 cos 2t :
-14 (cos 4pi - cos 0) = -14 (1 - 1) = 0
Avaliado de integral t , dt = 12 t^2 a 12 (2pi)^2 = 2pi^2 :
Para :
Avaliado de a :

Resposta

Juntando tudo, a integral vale:
2 b pi^2 raiza^2 + b^2

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