Calcule
se
é a hélice
acost,
sent,
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular a integral ∫₍C₎ (x y + z) dS, onde C é uma hélice definida por:
Vamos utilizar conhecimentos de cálculo de integrais ao longo de curvas no espaço.
Passo 2
Primeiro, precisamos expressar a função que vamos integrar em termos do parâmetro
. Temos:
Substituindo as parametrizações da hélice:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o elemento diferencial
ao longo da curva C. Para isso, calculamos a derivada das coordenadas em relação a
:
O diferencial de arco
é dado por:
Simplificando:
Passo 4
Agora, substituímos
e
na integral original:
Podemos fatorar
fora da integral:
Passo 5
Vamos separar a integral em duas partes:
Calculando cada integral:
Para
:
Avaliado de
a
:
Para
:
Avaliado de
a
:
Resposta
Juntando tudo, a integral vale:
Exercícios relacionados
Calcule
se C é a curva de
a
.
Calcule
se C é o gráfico de
.
Seja:
Calcule, se existir,
Calcule, se existir,
Este exercício é um exemplo de que a regra da cadeia pode não valer se a função
não for diferenciável.
Considere a função:
Considere a função:
- Verifique que
não é diferenciável em .