Calcule. integral raizx^4-4 d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer calcular a integral . Estamos lidando com cálculo integral, especificamente integrais que envolvem raízes de polinômios. Para resolver isso, vamos precisar usar substituições e entender um pouco sobre integrais que não têm solução em termos de funções elementares.

Passo 2

Primeiro, observamos que a expressão dentro da raiz é x^4 - 4 = (x^2)^2 - 2^2 = (x^2 - 2)(x^2 + 2) . Isso lembra uma diferença de quadrados, já que podemos reescrever como . Então, temos:
Isso pode ajudar em uma substituição futura.

Passo 3

Vamos tentar uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir:
u = x^2
Então, a derivada de du = 2x , dx Rightarrow dx = du2x em relação a é:
Agora, substituímos na integral original.

Passo 4

Substituindo na integral:
integral raizu^2 - 4 cdot du2x
Mas percebemos que ainda temos um integral raizu^2 - 4 cdot du2raizu = 12 integral raizu^2 - 4raizu , du na expressão. Como raizu^2 - 4raizu = raizu^2 - 4u = raizu - 4u , então . Substituindo isso:
Simplificando o denominador:
Isso ainda está complicado, então vamos considerar outra abordagem.

Passo 5

Outra técnica para integrais desse tipo é usar substituições trigonométricas ou hiperbolicas. Vamos tentar uma substituição hiperbólica. Definimos:
u = raiz2 sec theta
Então, 12 integral raiz2 tan theta cdot raiz2 sec theta tan theta , dthetaraiz2 sec theta = 12 integral 2 tan^2 theta , dtheta e integral tan^2 theta , dtheta = integral (sec^2 theta - 1) , dtheta = tan theta - theta + C . Substituindo na integral:
Simplificando:

Passo 6

Agora, voltamos para a variável original u = raiz2 sec theta Rightarrow theta = sec^-1(uraiz2) . Sabemos que:
theta = sec^-1(x^2raiz2)
E , então:
Além disso,

Passo 7

Finalmente, juntando tudo, temos que a integral é:
integral raizx^4 - 4 , dx = 12 ( raizx^4 - 2raiz2 - sec^-1(x^2raiz2) ) + C
Onde é a constante de integração.

Resposta

A integral raizx^4 - 22raiz2 - 12 sec^-1(x^2raiz2) + C é igual a:
Onde é a constante de integração.

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