Calcule.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer calcular a integral
. Estamos lidando com cálculo integral, especificamente integrais que envolvem raízes de polinômios. Para resolver isso, vamos precisar usar substituições e entender um pouco sobre integrais que não têm solução em termos de funções elementares.
Passo 2
Primeiro, observamos que a expressão dentro da raiz é
. Isso lembra uma diferença de quadrados, já que podemos reescrever
como
. Então, temos:
Isso pode ajudar em uma substituição futura.
Passo 3
Vamos tentar uma substituição para simplificar a integral. Vamos definir:
Então, a derivada de
em relação a
é:
Agora, substituímos
na integral original.
Passo 4
Substituindo na integral:
Mas percebemos que ainda temos um
na expressão. Como
, então
. Substituindo isso:
Simplificando o denominador:
Isso ainda está complicado, então vamos considerar outra abordagem.
Passo 5
Outra técnica para integrais desse tipo é usar substituições trigonométricas ou hiperbolicas. Vamos tentar uma substituição hiperbólica. Definimos:
Então,
e
. Substituindo na integral:
Simplificando:
Passo 6
Agora, voltamos para a variável original
. Sabemos que:
E
, então:
Além disso,
Passo 7
Finalmente, juntando tudo, temos que a integral é:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A integral
é igual a:
Onde
é a constante de integração.