Calcule a integral integralC-y d x+x d y onde C é uma curva suave que percorre a elipse x^23+y^25=1 no sentido anti-horário, uma única vez.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem para resolver a integral de linha integralC-y , dx + x , dy, onde C é uma elipse dada por x^23 + y^25 = 1, percorrida no sentido anti-horário uma vez. O conteúdo aqui envolve cálculo de integrais de linha e vamos precisar usar a Teorema de Green para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a integral de linha. Ela basicamente soma os efeitos de um campo vetorial ao longo de uma curva. No nosso caso, o campo vetorial é (-y, x).

Passo 3

Como a curva C é fechada e suave, dá para usar o Teorema de Green, que transforma essa integral de linha em uma integral dupla sobre a área limitada pela curva. O teorema diz que:
ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
Aqui, P = -y e Q = x.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas parciais:
partial Qpartial x = partial xpartial x = 1
partial Ppartial y = partial (-y)partial y = -1
Então,
partial Qpartial x - partial Ppartial y = 1 - (-1) = 2

Passo 5

Agora, a integral de linha fica:
ointC -y , dx + x , dy = integral duplaD 2 , dA = 2 times Área de D Á
Onde D é a área dentro da elipse.

Passo 6

Vamos calcular a área da elipse x^23 + y^25 = 1. A fórmula da área de uma elipse é pi a b, onde a e b são os semi-eixos.
Aqui, a = raiz3 e b = raiz5, então:
Área = pi times raiz3 times raiz5 = pi raiz15 Á

Passo 7

Finalmente, substituindo na integral:
ointC -y , dx + x , dy = 2 times pi raiz15 = 2pi raiz15

Resposta

A integral vale 2,pi,raiz15.

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