Calcule a integral
onde
é uma curva suave que percorre a elipse
no sentido anti-horário, uma única vez.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem para resolver a integral de linha
, onde
é uma elipse dada por
, percorrida no sentido anti-horário uma vez. O conteúdo aqui envolve cálculo de integrais de linha e vamos precisar usar a Teorema de Green para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a integral de linha. Ela basicamente soma os efeitos de um campo vetorial ao longo de uma curva. No nosso caso, o campo vetorial é
.
Passo 3
Como a curva
é fechada e suave, dá para usar o Teorema de Green, que transforma essa integral de linha em uma integral dupla sobre a área limitada pela curva. O teorema diz que:
Aqui,
e
.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas parciais:
Então,
Passo 5
Agora, a integral de linha fica:
Onde
é a área dentro da elipse.
Passo 6
Vamos calcular a área da elipse
. A fórmula da área de uma elipse é
, onde
e
são os semi-eixos.
Aqui,
e
, então:
Passo 7
Finalmente, substituindo na integral:
Resposta
A integral vale
.
Exercícios relacionados
Um fio possui o formato da semicircunferência superior
e densidade linear em cada ponto do fio proporcional à distância do ponto à origem. Determine a massa e o centro de massa do fio.
Calcule a integral do campo de vetores
ao longo da curva
.
Considere o campo vetorial
.
(b) Calcule a integral onde
é a curva com equações paramétrias
(b) Calcule a integral
Prove, pela definição, que a função dada é contínua no ponto dado.
b) em
b)