Calcule a integral do campo vetorial de a ao longo das curvas:
a) A curva de equações paramétricas ; (Dica: Note que e . A resposta é .)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente vai calcular a integral de linha do campo vetorial do ponto até ao longo da curva . O conteúdo que vamos usar aqui envolve cálculos de integrais de linha em campos vetoriais e parametrização de curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a parametrização da curva . A curva está definida por:
Isso significa que, conforme varia de 0 a 1, as coordenadas se movem ao longo da curva .

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada da parametrização em relação a , ou seja, :

Passo 4

Em seguida, avaliamos o campo vetorial na curva parametrizada :

Passo 5

A integral de linha é dada por:
Vamos multiplicar componente a componente e somar:
Simplificando:

Passo 6

Agora, integramos essa expressão de a :
Avaliado nos limites:
Vamos calcular isso passo a passo:
Então:

Resposta

A integral de linha do campo vetorial ao longo da curva é .

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Se , determine uma função tal que (Resposta: A função potencial é .)
Encontre o trabalho realizado pelo campo conservativo
ao longo de qualquer curva que ligue o ponto a . (Dica: O campo é conservativo e devemos usar o teorema fundamental. Avaliando no ponto inicial e final, a resposta do exercício é .)
  • (UFPA)O valor da expressão
    para e é :
-(UFPA)O valor da
expressão
é: