Calcule a integral do campo vetorial F(x, y) = x^2 - 2xy i + (x^3 + y) j de (0,0) a 1,1 ao longo das curvas:
a) A curva C2 de equações paramétricas x = t^2, y = t^3, 0 <= t <= 1; (Dica: Note que γ'(t) = (2t, 3t^2) e F(γ(t)) = (t^4 - 2*t^5, t^6 + t^3). A resposta é 25 / 42.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente vai calcular a integral de linha do campo vetorial do ponto até ao longo da curva . O conteúdo que vamos usar aqui envolve cálculos de integrais de linha em campos vetoriais e parametrização de curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a parametrização da curva . A curva está definida por:
Isso significa que, conforme varia de 0 a 1, as coordenadas se movem ao longo da curva .

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada da parametrização em relação a , ou seja, :

Passo 4

Em seguida, avaliamos o campo vetorial na curva parametrizada :

Passo 5

A integral de linha é dada por:
Vamos multiplicar componente a componente e somar:
Simplificando:

Passo 6

Agora, integramos essa expressão de a :
Avaliado nos limites:
Vamos calcular isso passo a passo:
Então:

Resposta

A integral de linha do campo vetorial ao longo da curva é .

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