Calcule a integral do campo vetorial
de
a
ao longo das curvas:
a) A curva
de equações paramétricas
; (Dica: Note que
e
. A resposta é
.)
a) A curva
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente vai calcular a integral de linha do campo vetorial
do ponto
até
ao longo da curva
. O conteúdo que vamos usar aqui envolve cálculos de integrais de linha em campos vetoriais e parametrização de curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a parametrização da curva
. A curva está definida por:
Isso significa que, conforme
varia de 0 a 1, as coordenadas
se movem ao longo da curva
.
Passo 3
Agora, precisamos calcular a derivada da parametrização
em relação a
, ou seja,
:
Passo 4
Em seguida, avaliamos o campo vetorial
na curva parametrizada
:
Passo 5
A integral de linha é dada por:
Vamos multiplicar componente a componente e somar:
Simplificando:
Passo 6
Agora, integramos essa expressão de
a
:
Avaliado nos limites:
Vamos calcular isso passo a passo:
Então:
Resposta
A integral de linha do campo vetorial
ao longo da curva
é
.
Exercícios relacionados
Se
, determine uma função
tal que
(Resposta: A função potencial é
.)
Encontre o trabalho realizado pelo campo conservativo
ao longo de qualquer curva
que ligue o ponto
a
. (Dica: O campo é conservativo e devemos usar o teorema fundamental. Avaliando
no ponto inicial e final, a resposta do exercício é
.)
- (UFPA)O valor da expressão
para e é :
-(UFPA)O valor da
expressão
é:
expressão