Encontre o trabalho realizado pelo campo conservativo
F(x, y, z) = y z i + x z j + x y k = ∇(x y z)
ao longo de qualquer curva C que ligue o ponto -1, 3, 9 a 1, 6, -4. (Dica: O campo é conservativo e devemos usar o teorema fundamental. Avaliando f no ponto inicial e final, a resposta do exercício é -24 + 27 = 3.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar o trabalho realizado por um campo conservativo ao longo de qualquer curva que liga o ponto a . O conteúdo que vamos usar é o de campos conservativos e o teorema fundamental do cálculo para campos vetoriais. Precisaremos encontrar a função potencial tal que e calcular a diferença de nos pontos final e inicial.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função potencial . Sabemos que , onde . Comparando com , vemos que:
Integrando em relação a , temos:
Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Isso significa que não depende de , então . Fazendo o mesmo para :
Portanto, a função potencial é:
Podemos desprezar a constante, pois ela se cancela na diferença.

Passo 3

Agora que temos a função potencial , vamos aplicar o teorema fundamental para campos conservativos, que diz que o trabalho realizado ao longo de uma curva depende apenas dos valores de nos pontos inicial e final:
Vamos calcular nos pontos dados.

Passo 4

Calculando no ponto inicial :
E no ponto final :

Passo 5

Aplicando o teorema fundamental:

Resposta

O trabalho realizado pelo campo conservativo ao longo da curva é unidades de trabalho.

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