Encontre o trabalho realizado pelo campo conservativo
ao longo de qualquer curva
que ligue o ponto
a
. (Dica: O campo é conservativo e devemos usar o teorema fundamental. Avaliando
no ponto inicial e final, a resposta do exercício é
.)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para encontrar o trabalho realizado por um campo conservativo
ao longo de qualquer curva
que liga o ponto
a
. O conteúdo que vamos usar é o de campos conservativos e o teorema fundamental do cálculo para campos vetoriais. Precisaremos encontrar a função potencial
tal que
e calcular a diferença de
nos pontos final e inicial.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a função potencial
. Sabemos que
, onde
. Comparando com
, vemos que:
Integrando
em relação a
, temos:
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Isso significa que
não depende de
, então
. Fazendo o mesmo para
:
Portanto, a função potencial é:
Podemos desprezar a constante, pois ela se cancela na diferença.
Passo 3
Agora que temos a função potencial
, vamos aplicar o teorema fundamental para campos conservativos, que diz que o trabalho realizado ao longo de uma curva
depende apenas dos valores de
nos pontos inicial e final:
Vamos calcular
nos pontos dados.
Passo 4
Calculando
no ponto inicial
:
E no ponto final
:
Passo 5
Aplicando o teorema fundamental:
Resposta
O trabalho realizado pelo campo conservativo ao longo da curva
é
unidades de trabalho.
Exercícios relacionados
Calcule a integral do campo vetorial
de
a
ao longo das curvas:
a) O segmento de reta de equações paramétricas
; (Dica: Note que
e
. A resposta usando a fórmula é
.)
a) O segmento de reta
Uma partícula desloca-se em um campo de forças dado por
. Calcule o trabalho realizado por
no deslocamento da partícula de
até
, sendo dados:
b) e
e
(Resp.:
b)
Se
, determine uma função
tal que
(Resposta: A função potencial é
.)
Calcule a integral do campo vetorial
de
a
ao longo das curvas:
a) A curva de equações paramétricas
; (Dica: Note que
e
. A resposta é
.)
a) A curva