Se , determine uma função tal que (Resposta: A função potencial é .)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo vetorial e precisa encontrar uma função tal que o gradiente dela ( ) seja igual a . Isso está ligado ao estudo de campos vetoriais e funções potenciais, usando cálculo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função é dado por . Então, se , significa que:

Passo 3

Vamos começar integrando a primeira equação em relação a para encontrar . Ou seja:
Aqui, é uma função que depende só de , porque quando derivamos em relação a , qualquer função que depende somente de desaparece.

Passo 4

Agora, vamos usar a segunda equação . Sabemos que , então:
Comparando os dois lados, temos:
Integrando isso em relação a :
Onde é a constante de integração, que podemos ignorar para a função potencial.

Passo 5

Finalmente, substituindo de volta na expressão de :

Resposta

A função potencial é .

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ao longo de qualquer curva que ligue o ponto a . (Dica: O campo é conservativo e devemos usar o teorema fundamental. Avaliando no ponto inicial e final, a resposta do exercício é .)
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Calcule a integral do campo vetorial de a ao longo das curvas:
a) A curva de equações paramétricas ; (Dica: Note que e . A resposta é .)
  • (UFPA)O valor da expressão
    para e é :