Se
, determine uma função
tal que
(Resposta: A função potencial é
.)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo vetorial
e precisa encontrar uma função
tal que o gradiente dela (
) seja igual a
. Isso está ligado ao estudo de campos vetoriais e funções potenciais, usando cálculo vetorial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função
é dado por
. Então, se
, significa que:
Passo 3
Vamos começar integrando a primeira equação em relação a
para encontrar
. Ou seja:
Aqui,
é uma função que depende só de
, porque quando derivamos
em relação a
, qualquer função que depende somente de
desaparece.
Passo 4
Agora, vamos usar a segunda equação
. Sabemos que
, então:
Comparando os dois lados, temos:
Integrando isso em relação a
:
Onde
é a constante de integração, que podemos ignorar para a função potencial.
Passo 5
Finalmente, substituindo
de volta na expressão de
:
Resposta
A função potencial é
.
Exercícios relacionados
Encontre o trabalho realizado pelo campo conservativo
ao longo de qualquer curva
que ligue o ponto
a
. (Dica: O campo é conservativo e devemos usar o teorema fundamental. Avaliando
no ponto inicial e final, a resposta do exercício é
.)
Calcule a integral do campo vetorial
de
a
ao longo das curvas:
a) O segmento de reta de equações paramétricas
; (Dica: Note que
e
. A resposta usando a fórmula é
.)
a) O segmento de reta
Calcule a integral do campo vetorial
de
a
ao longo das curvas:
a) A curva de equações paramétricas
; (Dica: Note que
e
. A resposta é
.)
a) A curva
- (UFPA)O valor da expressão
para e é :