Se F(x, y, z) = (3 + 2xy) i + (x^2 - 3y^2) j, determine uma função f tal que nabla f = F (Resposta: A função potencial é f(x, y) = 3x + x^2y - y^3.)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um campo vetorial e precisa encontrar uma função f(x, y) tal que o gradiente dela ( nabla f) seja igual a F. Isso está ligado ao estudo de campos vetoriais e funções potenciais, usando cálculo vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente. O gradiente de uma função f(x, y) é dado por . Então, se , significa que:

Passo 3

Vamos começar integrando a primeira equação em relação a x para encontrar f(x, y). Ou seja:
Aqui, g(y) é uma função que depende só de y, porque quando derivamos f em relação a x, qualquer função que depende somente de y desaparece.

Passo 4

Agora, vamos usar a segunda equação . Sabemos que , então:
Comparando os dois lados, temos:
Integrando isso em relação a y:
Onde C é a constante de integração, que podemos ignorar para a função potencial.

Passo 5

Finalmente, substituindo g(y) de volta na expressão de f(x, y):

Resposta

A função potencial é .

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