Calcule a integral do campo vetorial F(x, y) = x^2 - 2xy i + (x^3 + y) j de (0,0) a 1,1 ao longo das curvas:
a) O segmento de reta C1 de equações paramétricas x = t, y = t, 0 <= t <= 1; (Dica: Note que gamma'(t) = (1, 1) e F(gamma(t)) = (-t^2, t^3 + t). A resposta usando a fórmula é 5 / 12.)

Passo 1

Tá, vamos resolver esse exercício que pede pra calcular a integral de um campo vetorial do ponto até ao longo de uma reta. Isso faz parte do conteúdo de cálculo vetorial, especificamente sobre integrais de linha. Para resolver, a gente vai precisar parametrizar a curva, substituir na função , e então integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva . Como é um segmento de reta de a , podemos usar parametrização simples: e , onde varia de 0 a 1.

Passo 3

Agora, a gente precisa encontrar a derivada da parametrização . Se , então .

Passo 4

Vamos substituir na função . Assim:

Passo 5

A próxima etapa é calcular o produto escalar de com :

Passo 6

Finalmente, integramos essa expressão de a :

Resposta

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