Calcule a integral do campo vetorial
de
a
ao longo das curvas:
a) O segmento de reta
de equações paramétricas
; (Dica: Note que
e
. A resposta usando a fórmula é
.)
a) O segmento de reta
Passo 1
Tá, vamos resolver esse exercício que pede pra calcular a integral de um campo vetorial
do ponto
até
ao longo de uma reta. Isso faz parte do conteúdo de cálculo vetorial, especificamente sobre integrais de linha. Para resolver, a gente vai precisar parametrizar a curva, substituir na função
, e então integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a curva
. Como é um segmento de reta de
a
, podemos usar parametrização simples:
e
, onde
varia de 0 a 1.
Passo 3
Agora, a gente precisa encontrar a derivada da parametrização
. Se
, então
.
Passo 4
Vamos substituir
na função
. Assim:
Passo 5
A próxima etapa é calcular o produto escalar de
com
:
Passo 6
Finalmente, integramos essa expressão de
a
:
Resposta
Exercícios relacionados
Uma partícula desloca-se em um campo de forças dado por
. Calcule o trabalho realizado por
no deslocamento da partícula de
até
, sendo dados:
b) e
e
(Resp.:
b)
Encontre a solução geral de
A equação característica é
, com raízes
e
. A solução geral é
note que se a parte real das raízes é zero, como neste exemplo, então a solução não tem fator exponencial. A Figura 3.3.3 mostra o gráfico de duas soluções típicas da Eq. (28). Em cada caso a solução é uma oscilação pura cuja amplitude é determinada pelas condições iniciais. Como a solução (29) não tem fator exponencial, a amplitude de cada oscilação permanece constante no tempo.
Encontre o trabalho realizado pelo campo conservativo
ao longo de qualquer curva
que ligue o ponto
a
. (Dica: O campo é conservativo e devemos usar o teorema fundamental. Avaliando
no ponto inicial e final, a resposta do exercício é
.)
Se
, determine uma função
tal que
(Resposta: A função potencial é
.)