Calcule a integral do campo vetorial de a ao longo das curvas:
a) O segmento de reta de equações paramétricas ; (Dica: Note que e . A resposta usando a fórmula é .)

Passo 1

Tá, vamos resolver esse exercício que pede pra calcular a integral de um campo vetorial do ponto até ao longo de uma reta. Isso faz parte do conteúdo de cálculo vetorial, especificamente sobre integrais de linha. Para resolver, a gente vai precisar parametrizar a curva, substituir na função , e então integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a curva . Como é um segmento de reta de a , podemos usar parametrização simples: e , onde varia de 0 a 1.

Passo 3

Agora, a gente precisa encontrar a derivada da parametrização . Se , então .

Passo 4

Vamos substituir na função . Assim:

Passo 5

A próxima etapa é calcular o produto escalar de com :

Passo 6

Finalmente, integramos essa expressão de a :

Resposta

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Uma partícula desloca-se em um campo de forças dado por . Calcule o trabalho realizado por no deslocamento da partícula de até , sendo dados:
b) e e (Resp.:
Encontre a solução geral de
A equação característica é , com raízes e . A solução geral é
note que se a parte real das raízes é zero, como neste exemplo, então a solução não tem fator exponencial. A Figura 3.3.3 mostra o gráfico de duas soluções típicas da Eq. (28). Em cada caso a solução é uma oscilação pura cuja amplitude é determinada pelas condições iniciais. Como a solução (29) não tem fator exponencial, a amplitude de cada oscilação permanece constante no tempo.
Encontre o trabalho realizado pelo campo conservativo
ao longo de qualquer curva que ligue o ponto a . (Dica: O campo é conservativo e devemos usar o teorema fundamental. Avaliando no ponto inicial e final, a resposta do exercício é .)
Se , determine uma função tal que (Resposta: A função potencial é .)