Encontre a solução geral de
A equação característica é
, com raízes
e
. A solução geral é
note que se a parte real das raízes é zero, como neste exemplo, então a solução não tem fator exponencial. A Figura 3.3.3 mostra o gráfico de duas soluções típicas da Eq. (28). Em cada caso a solução é uma oscilação pura cuja amplitude é determinada pelas condições iniciais. Como a solução (29) não tem fator exponencial, a amplitude de cada oscilação permanece constante no tempo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a solução geral da equação diferencial de segunda ordem:
Conteúdo envolvido: Equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos usar a equação característica.
Passo 2
Primeiro, a gente transforma a equação diferencial em uma equação algébrica chamada equação característica. Substituímos
por
e
por 1. Então:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação característica para encontrar os valores de
:
Aqui, vemos que as raízes são complexas (envolvem a unidade imaginária
).
Passo 4
Quando as raízes da equação característica são complexas da forma
, a solução geral da equação diferencial é:
No nosso caso,
e
, já que
.
Passo 5
Substituindo os valores de
e
na fórmula da solução geral, temos:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
Exercícios relacionados
Considere a região limitada pela reta de equação
e pela parábola definida por
, indicada na figura abaixo. Determine o comprimento do maior segmento vertical que pode ser inscrito nesta região.
Um fluido tem densidade
e escoa com velocidade
, onde
e
são medidos em metros e as componentes de
, em metros por segundo. Encontre a taxa de vazão para fora do hemisfério
.
Uma partícula desloca-se em um campo de forças dado por
. Calcule o trabalho realizado por
no deslocamento da partícula de
até
, sendo dados:
b) e
e
(Resp.:
b)
Calcule a integral do campo vetorial
de
a
ao longo das curvas:
a) O segmento de reta de equações paramétricas
; (Dica: Note que
e
. A resposta usando a fórmula é
.)
a) O segmento de reta