Encontre a solução geral de
A equação característica é
, com raízes
e
. A solução geral é
note que se a parte real das raízes é zero, como neste exemplo, então a solução não tem fator exponencial. A Figura 3.3.3 mostra o gráfico de duas soluções típicas da Eq. (28). Em cada caso a solução é uma oscilação pura cuja amplitude é determinada pelas condições iniciais. Como a solução (29) não tem fator exponencial, a amplitude de cada oscilação permanece constante no tempo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a solução geral da equação diferencial de segunda ordem:
Conteúdo envolvido: Equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos usar a equação característica.
Passo 2
Primeiro, a gente transforma a equação diferencial em uma equação algébrica chamada equação característica. Substituímos
por
e
por 1. Então:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação característica para encontrar os valores de
:
Aqui, vemos que as raízes são complexas (envolvem a unidade imaginária
).
Passo 4
Quando as raízes da equação característica são complexas da forma
, a solução geral da equação diferencial é:
No nosso caso,
e
, já que
.
Passo 5
Substituindo os valores de
e
na fórmula da solução geral, temos:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é