Encontre a solução geral de
y'' + 9y = 0
A equação característica é r^2 + 9 = 0, com raízes r = +- 3i, logo, lambda = 0 e mu = 3. A solução geral é
y = c1 cos(3t) + c2 sen(3x)
note que se a parte real das raízes é zero, como neste exemplo, então a solução não tem fator exponencial. A Figura 3.3.3 mostra o gráfico de duas soluções típicas da Eq. (28). Em cada caso a solução é uma oscilação pura cuja amplitude é determinada pelas condições iniciais. Como a solução (29) não tem fator exponencial, a amplitude de cada oscilação permanece constante no tempo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a solução geral da equação diferencial de segunda ordem:
Conteúdo envolvido: Equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver isso, vamos usar a equação característica.

Passo 2

Primeiro, a gente transforma a equação diferencial em uma equação algébrica chamada equação característica. Substituímos por e por 1. Então:

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação característica para encontrar os valores de :
Aqui, vemos que as raízes são complexas (envolvem a unidade imaginária ).

Passo 4

Quando as raízes da equação característica são complexas da forma , a solução geral da equação diferencial é:
No nosso caso, e , já que .

Passo 5

Substituindo os valores de e na fórmula da solução geral, temos:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é

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