Uma partícula desloca-se em um campo de forças dado por
. Calcule o trabalho realizado por
no deslocamento da partícula de
até
, sendo dados:
b)
e
e
(Resp.:
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o trabalho feito por uma força
quando uma partícula se move ao longo de um caminho definido por
, de
até
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo de integrais de linha para encontrar o trabalho realizado pela força.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada de
em relação a
, que é a velocidade vetorial da partícula. Isso vai nos dar
:
Passo 3
Agora, vamos substituir
na força
para obter
:
Isso porque
,
e
.
Passo 4
Em seguida, calculamos o produto escalar entre
e
:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos integrar essa expressão de
até
para encontrar o trabalho
:
Calculando a integral:
Resposta
O trabalho realizado pela força é
unidades de trabalho.
Exercícios relacionados
Encontre a solução geral de
A equação característica é
, com raízes
e
. A solução geral é
note que se a parte real das raízes é zero, como neste exemplo, então a solução não tem fator exponencial. A Figura 3.3.3 mostra o gráfico de duas soluções típicas da Eq. (28). Em cada caso a solução é uma oscilação pura cuja amplitude é determinada pelas condições iniciais. Como a solução (29) não tem fator exponencial, a amplitude de cada oscilação permanece constante no tempo.
Considere a região limitada pela reta de equação
e pela parábola definida por
, indicada na figura abaixo. Determine o comprimento do maior segmento vertical que pode ser inscrito nesta região.
Calcule a integral do campo vetorial
de
a
ao longo das curvas:
a) O segmento de reta de equações paramétricas
; (Dica: Note que
e
. A resposta usando a fórmula é
.)
a) O segmento de reta
Encontre o trabalho realizado pelo campo conservativo
ao longo de qualquer curva
que ligue o ponto
a
. (Dica: O campo é conservativo e devemos usar o teorema fundamental. Avaliando
no ponto inicial e final, a resposta do exercício é
.)