Uma partícula desloca-se em um campo de forças dado por F(x, y, z) = -y * i +x j + z k. Calcule o trabalho realizado por F no deslocamento da partícula de gamma(a) até gamma(b), sendo dados:
b) gamma(t) = (2t + 1, t - 1, t) e a = 1 e b = 2 (Resp.: 9 / 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o trabalho feito por uma força quando uma partícula se move ao longo de um caminho definido por , de até . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo de integrais de linha para encontrar o trabalho realizado pela força.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de gamma(t) em relação a t, que é a velocidade vetorial da partícula. Isso vai nos dar :

Passo 3

Agora, vamos substituir gamma(t) na força F(x, y, z) para obter :
Isso porque , e .

Passo 4

Em seguida, calculamos o produto escalar entre e :
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos integrar essa expressão de até para encontrar o trabalho W:
Calculando a integral:

Resposta

O trabalho realizado pela força é 9/2 unidades de trabalho.

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