Uma partícula desloca-se em um campo de forças dado por . Calcule o trabalho realizado por no deslocamento da partícula de até , sendo dados:
b) e e (Resp.:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o trabalho feito por uma força quando uma partícula se move ao longo de um caminho definido por , de até . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo de integrais de linha para encontrar o trabalho realizado pela força.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de em relação a , que é a velocidade vetorial da partícula. Isso vai nos dar :

Passo 3

Agora, vamos substituir na força para obter :
Isso porque , e .

Passo 4

Em seguida, calculamos o produto escalar entre e :
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos integrar essa expressão de até para encontrar o trabalho :
Calculando a integral:

Resposta

O trabalho realizado pela força é unidades de trabalho.

Exercícios relacionados

Encontre a solução geral de
A equação característica é , com raízes e . A solução geral é
note que se a parte real das raízes é zero, como neste exemplo, então a solução não tem fator exponencial. A Figura 3.3.3 mostra o gráfico de duas soluções típicas da Eq. (28). Em cada caso a solução é uma oscilação pura cuja amplitude é determinada pelas condições iniciais. Como a solução (29) não tem fator exponencial, a amplitude de cada oscilação permanece constante no tempo.
Considere a região limitada pela reta de equação e pela parábola definida por , indicada na figura abaixo. Determine o comprimento do maior segmento vertical que pode ser inscrito nesta região.
Calcule a integral do campo vetorial de a ao longo das curvas:
a) O segmento de reta de equações paramétricas ; (Dica: Note que e . A resposta usando a fórmula é .)
Encontre o trabalho realizado pelo campo conservativo
ao longo de qualquer curva que ligue o ponto a . (Dica: O campo é conservativo e devemos usar o teorema fundamental. Avaliando no ponto inicial e final, a resposta do exercício é .)