Calcule a integral completando o quadrado.
Sugestão: Use a fórmula .
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa calcular a integral:
Usaremos a técnica de completar o quadrado no denominador. Para isso, vamos precisar de conhecimentos básicos de álgebra e cálculo integral. Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o denominador completando o quadrado. Isso vai ajudar a reescrever a expressão de uma forma mais fácil de integrar.
Passo 3
Vamos começar fatorando o coeficiente de no denominador:
Passo 4
Agora, vamos completar o quadrado dentro dos parênteses. Para completar o quadrado de , adicionamos e subtraímos :
Passo 5
Substituindo de volta no denominador:
Passo 6
Agora, o denominador ficou:
Passo 7
Vamos reescrever a integral com o denominador completado o quadrado:
Passo 8
Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Seja:
Também, expressamos em termos de :
Passo 9
Substituindo na integral:
Podemos simplificar dividindo numerador e denominador por 2:
Passo 10
Agora, vamos separar a fração:
Passo 11
Assim, a integral fica:
Passo 12
Vamos resolver cada uma das integrais separadamente.
Primeiro, :
Aqui, fazemos a substituição:
Substituindo:
Passo 13
Agora, a segunda integral: .
Essa integral se assemelha à fórmula sugerida no exercício: