Calcule a integral completando o quadrado.

Sugestão: Use a fórmula .

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa calcular a integral:
Usaremos a técnica de completar o quadrado no denominador. Para isso, vamos precisar de conhecimentos básicos de álgebra e cálculo integral. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador completando o quadrado. Isso vai ajudar a reescrever a expressão de uma forma mais fácil de integrar.

Passo 3

Vamos começar fatorando o coeficiente de no denominador:

Passo 4

Agora, vamos completar o quadrado dentro dos parênteses. Para completar o quadrado de , adicionamos e subtraímos :

Passo 5

Substituindo de volta no denominador:

Passo 6

Agora, o denominador ficou:

Passo 7

Vamos reescrever a integral com o denominador completado o quadrado:

Passo 8

Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Seja:
Também, expressamos em termos de :

Passo 9

Substituindo na integral:
Podemos simplificar dividindo numerador e denominador por 2:

Passo 10

Agora, vamos separar a fração:

Passo 11

Assim, a integral fica:

Passo 12

Vamos resolver cada uma das integrais separadamente.
Primeiro, :
Aqui, fazemos a substituição:
Substituindo:

Passo 13

Agora, a segunda integral: .
Essa integral se assemelha à fórmula sugerida no exercício:
Aqui, , então . Aplicando a fórmula:

Passo 14

Voltando à expressão da integral original:

Passo 15

Por fim, substituímos de volta na expressão:
Simplificando dentro dos logaritmos:
E:

Resposta

Portanto, a integral é:

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