Calcule a integral completando o quadrado.
integral 2 x+14 x^2+12 x-7 d x
Sugestão: Use a fórmula integral 1x^2-a^2 d x=12 a ln |x-ax+a|+C.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício! A gente precisa calcular a integral:
integral 2x + 14x^2 + 12x - 7 , dx
Usaremos a técnica de completar o quadrado no denominador. Para isso, vamos precisar de conhecimentos básicos de álgebra e cálculo integral. Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador completando o quadrado. Isso vai ajudar a reescrever a expressão de uma forma mais fácil de integrar.

Passo 3

Vamos começar fatorando o coeficiente de 4x^2 + 12x - 7 = 4(x^2 + 3x) - 7 no denominador:

Passo 4

Agora, vamos completar o quadrado dentro dos parênteses. Para completar o quadrado de x^2 + 3x = x^2 + 3x + (32)^2 - (32)^2 = (x + 32)^2 - 94 , adicionamos e subtraímos :

Passo 5

Substituindo de volta no denominador:
4(x^2 + 3x) - 7 = 4((x + 32)^2 - 94) - 7 = 4(x + 32)^2 - 9 - 7 = 4(x + 32)^2 - 16

Passo 6

Agora, o denominador ficou:
4x^2 + 12x - 7 = 4(x + 32)^2 - 16

Passo 7

Vamos reescrever a integral com o denominador completado o quadrado:
integral 2x + 14(x + 32)^2 - 16 , dx

Passo 8

Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Seja:
u = x + 32 Rightarrow du = dx
Também, expressamos 2x + 1 = 2(u - 32) + 1 = 2u - 3 + 1 = 2u - 2 em termos de :

Passo 9

Substituindo na integral:
integral 2u - 24u^2 - 16 , du = integral 2(u - 1)4(u^2 - 4) , du = integral 2(u - 1)4(u^2 - 4) , du
Podemos simplificar dividindo numerador e denominador por 2:
= 12 integral u - 1u^2 - 4 , du

Passo 10

Agora, vamos separar a fração:
u - 1u^2 - 4 = uu^2 - 4 - 1u^2 - 4

Passo 11

Assim, a integral fica:
12 ( integral uu^2 - 4 , du - integral 1u^2 - 4 , du )

Passo 12

Vamos resolver cada uma das integrais separadamente.
Primeiro, w = u^2 - 4 Rightarrow dw = 2u , du Rightarrow dw2 = u , du :
Aqui, fazemos a substituição:
integral uu^2 - 4 , du = 12 integral 1w , dw = 12 ln|w| + C = 12 ln|u^2 - 4| + C
Substituindo:

Passo 13

Agora, a segunda integral: integral 1x^2 - a^2 , dx = 12a ln| x - ax + a | + C .
Essa integral se assemelha à fórmula sugerida no exercício:
integral 1u^2 - 4 , du = 14 ln| u - 2u + 2 | + C
Aqui, , então . Aplicando a fórmula:

Passo 14

Voltando à expressão da integral original:
12 ( 12 ln|u^2 - 4| - 14 ln| u - 2u + 2 | ) + C = 14 ln|u^2 - 4| - 18 ln| u - 2u + 2 | + C

Passo 15

Por fim, substituímos 14 ln| (x + 32)^2 - 4 | - 18 ln| (x + 32) - 2(x + 32) + 2 | + C de volta na expressão:
(x + 32)^2 - 4 = x^2 + 3x + 94 - 4 = x^2 + 3x - 74
Simplificando dentro dos logaritmos:
(x + 32) - 2(x + 32) + 2 = x + 32 - 2x + 32 + 2 = x - 12x + 72
E:

Resposta

Portanto, a integral é:
14 ln|x^2 + 3x - 74| - 18 ln|x - 12x + 72| + C

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