Encontre a solução dos problemas de valor inicial dados:
,
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema que temos é uma equação diferencial de primeiro grau com uma condição inicial. A equação é:
Vamos resolver isso passo a passo. Para resolver esse tipo de equação, usamos um método chamado fator integrante. Isso nos ajuda a simplificar a equação e encontrar a solução para
.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os coeficientes da equação. A equação está na forma padrão:
No nosso caso, conseguimos reescrever a equação como:
Aqui,
e
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o fator integrante
. Ele é dado por:
Substituindo
:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Simplificando:
Passo 5
O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto
. Ou seja:
Isso simplifica a equação e facilita a integração.
Passo 6
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a
:
Do lado esquerdo, a integral da derivada é simplesmente
:
Passo 7
Vamos resolver a integral do lado direito,
, usando o método de integração por partes. Lembrando que:
Escolhemos:
-
⇒ -
⇒
Aplicando a fórmula:
Passo 8
Substituindo de volta na equação:
Agora, vamos multiplicar ambos os lados por
para isolar
:
Passo 9
Agora, usamos a condição inicial
para encontrar a constante
. Substituindo
:
Resposta
A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é: