Encontre a solução dos problemas de valor inicial dados:
,

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema que temos é uma equação diferencial de primeiro grau com uma condição inicial. A equação é:
Vamos resolver isso passo a passo. Para resolver esse tipo de equação, usamos um método chamado fator integrante. Isso nos ajuda a simplificar a equação e encontrar a solução para .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes da equação. A equação está na forma padrão:
No nosso caso, conseguimos reescrever a equação como:
Aqui, e .

Passo 3

Agora, vamos calcular o fator integrante . Ele é dado por:
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Simplificando:

Passo 5

O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto . Ou seja:
Isso simplifica a equação e facilita a integração.

Passo 6

Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a :
Do lado esquerdo, a integral da derivada é simplesmente :

Passo 7

Vamos resolver a integral do lado direito, , usando o método de integração por partes. Lembrando que:
Escolhemos:
Aplicando a fórmula:

Passo 8

Substituindo de volta na equação:
Agora, vamos multiplicar ambos os lados por para isolar :

Passo 9

Agora, usamos a condição inicial para encontrar a constante . Substituindo :

Resposta

A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:

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Sugestão: Use a fórmula .
Determine o maior intervalo no qual o problema de valor inicial dado certamente tem uma única solução duas vezes diferenciável.
(f)