Encontre a solução dos problemas de valor inicial dados:
y^prime-y=2 t e^2 t, y(0)=1,

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema que temos é uma equação diferencial de primeiro grau com uma condição inicial. A equação é:
y^prime - y = 2 t e^2 t, y(0) = 1
Vamos resolver isso passo a passo. Para resolver esse tipo de equação, usamos um método chamado fator integrante. Isso nos ajuda a simplificar a equação e encontrar a solução para .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os coeficientes da equação. A equação está na forma padrão:
y^prime + P(t) y = Q(t)
No nosso caso, conseguimos reescrever a equação como:
y^prime - y = 2 t e^2 t
Aqui, e .

Passo 3

Agora, vamos calcular o fator integrante mu(t) = e^integral P(t) dt . Ele é dado por:
mu(t) = e^integral -1 , dt = e^-t
Substituindo :

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante e^-t y^prime - e^-t y = 2 t e^2 t e^-t :
e^-t y^prime - e^-t y = 2 t e^t
Simplificando:

Passo 5

O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto ddt [e^-t y] = 2 t e^t . Ou seja:
Isso simplifica a equação e facilita a integração.

Passo 6

Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a integral ddt [e^-t y] , dt = integral 2 t e^t , dt :
e^-t y = integral 2 t e^t , dt + C
Do lado esquerdo, a integral da derivada é simplesmente :

Passo 7

Vamos resolver a integral do lado direito, integral u , dv = u v - integral v , du , usando o método de integração por partes. Lembrando que:
integral 2 t e^t , dt = 2t e^t - integral 2 e^t , dt = 2t e^t - 2 e^t + C
Escolhemos:
Aplicando a fórmula:

Passo 8

Substituindo de volta na equação:
e^-t y = 2 t e^t - 2 e^t + C
Agora, vamos multiplicar ambos os lados por y = e^t (2 t e^t - 2 e^t + C) = 2 t e^2 t - 2 e^2 t + C e^t para isolar :

Passo 9

Agora, usamos a condição inicial 1 = 2 cdot 0 cdot e^0 - 2 e^0 + C e^0 Rightarrow 1 = 0 - 2 + C Rightarrow C = 3 para encontrar a constante . Substituindo :

Resposta

A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:
y(t) = 2 t e^2 t - 2 e^2 t + 3 e^t

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