Encontre a solução dos problemas de valor inicial dados: ,
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema que temos é uma equação diferencial de primeiro grau com uma condição inicial. A equação é:
Vamos resolver isso passo a passo. Para resolver esse tipo de equação, usamos um método chamado fator integrante. Isso nos ajuda a simplificar a equação e encontrar a solução para .
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os coeficientes da equação. A equação está na forma padrão:
No nosso caso, conseguimos reescrever a equação como:
Aqui, e .
Passo 3
Agora, vamos calcular o fator integrante. Ele é dado por:
Substituindo :
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Simplificando:
Passo 5
O lado esquerdo da equação agora é a derivada do produto . Ou seja:
Isso simplifica a equação e facilita a integração.
Passo 6
Agora, vamos integrar ambos os lados em relação a :
Do lado esquerdo, a integral da derivada é simplesmente :
Passo 7
Vamos resolver a integral do lado direito, , usando o método de integração por partes. Lembrando que:
Escolhemos:
⇒
⇒
Aplicando a fórmula:
Passo 8
Substituindo de volta na equação:
Agora, vamos multiplicar ambos os lados por para isolar :
Passo 9
Agora, usamos a condição inicial para encontrar a constante . Substituindo :
Resposta
A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é: