Encontre a solução dos problemas de valor inicial dados:
,
Passo 1
Beleza! Vamos resolver o problema de valor inicial que é o seguinte:
com a condição inicial
. Esse tipo de problema está relacionado a equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar um método que envolve encontrar um fator integrante que nos ajude a simplificar a equação e encontrar a solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os componentes da nossa equação diferencial. Temos
. Aqui,
é a derivada de
em relação a
,
é o termo que acompanha
, e
é a função que está igualando.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o fator integrante. A equação está na forma padrão
, onde
e
. O fator integrante
é dado por:
Passo 4
Com o fator integrante, multiplicamos toda a equação original por
:
Simplificando o lado direito:
Passo 5
Observamos que o lado esquerdo agora é a derivada do produto
. Ou seja:
Passo 6
Integrando ambos os lados com respeito a
:
Passo 7
Resolvendo para
:
Passo 8
Agora, aplicamos a condição inicial
:
Resposta
A solução da equação diferencial é: