Encontre a solução dos problemas de valor inicial dados: y^prime-2 y=e^2 t, y(0)=2,

Passo 1

Beleza! Vamos resolver o problema de valor inicial que é o seguinte: com a condição inicial . Esse tipo de problema está relacionado a equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar um método que envolve encontrar um fator integrante que nos ajude a simplificar a equação e encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes da nossa equação diferencial. Temos . Aqui, é a derivada de em relação a , é o termo que acompanha , e é a função que está igualando.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante. A equação está na forma padrão mu(t) = e^integral P(t) dt = e^integral -2 dt = e^-2t , onde e . O fator integrante é dado por:

Passo 4

Com o fator integrante, multiplicamos toda a equação original por e^-2t y' - 2 e^-2t y = e^-2t cdot e^2t :
e^-2t y' - 2 e^-2t y = 1
Simplificando o lado direito:

Passo 5

Observamos que o lado esquerdo agora é a derivada do produto ddt ( e^-2t y ) = 1 . Ou seja:

Passo 6

Integrando ambos os lados com respeito a e^-2t y = integral 1 dt + C :
e^-2t y = t + C

Passo 7

Resolvendo para y = e^2t (t + C) :

Passo 8

Agora, aplicamos a condição inicial 2 = e^0 (0 + C) Rightarrow 2 = C :

Resposta

A solução da equação diferencial é:
y(t) = e^2t (t + 2)

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