Encontre a solução dos problemas de valor inicial dados: ,

Passo 1

Beleza! Vamos resolver o problema de valor inicial que é o seguinte: com a condição inicial . Esse tipo de problema está relacionado a equações diferenciais lineares de primeira ordem. Para resolver, vamos precisar usar um método que envolve encontrar um fator integrante que nos ajude a simplificar a equação e encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os componentes da nossa equação diferencial. Temos . Aqui, é a derivada de em relação a , é o termo que acompanha , e é a função que está igualando.

Passo 3

Agora, vamos encontrar o fator integrante. A equação está na forma padrão , onde e . O fator integrante é dado por:

Passo 4

Com o fator integrante, multiplicamos toda a equação original por :
Simplificando o lado direito:

Passo 5

Observamos que o lado esquerdo agora é a derivada do produto . Ou seja:

Passo 6

Integrando ambos os lados com respeito a :

Passo 7

Resolvendo para :

Passo 8

Agora, aplicamos a condição inicial :

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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,
Calcule a integral completando o quadrado.

Sugestão: Use a fórmula .