Determine o maior intervalo no qual o problema de valor inicial dado certamente tem uma única solução duas vezes diferenciável.
(f)
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar os conhecimentos que precisamos. A questão quer que a gente encontre o maior intervalo no qual o problema de valor inicial fornecido tem uma única solução que é duas vezes diferenciável. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre equações diferenciais lineares e condições de existência e unicidade das soluções.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a equação diferencial dada:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem. Para que exista uma única solução para o problema de valor inicial, os coeficientes da equação devem ser contínuos no intervalo considerado.
Passo 3
Vamos identificar onde os coeficientes da equação são contínuos:
Coeficiente de :
Esse coeficiente é contínuo em todo lugar, exceto quando , onde ele se anula.
Coeficiente de :
Esse coeficiente é constante e, portanto, contínuo em todo o domínio.
Coeficiente de :
A função é contínua exceto em , onde é inteiro, pois nesses pontos a tangente apresenta assíntotas verticais.
Passo 4
Agora, vamos identificar os pontos onde a equação pode não ter solução única:
: Aqui, o coeficiente de se torna zero, o que pode causar problemas na unicidade da solução.
: Nestes pontos, não é definida, o que também impede a existência de uma solução contínua.
Passo 5
Nosso ponto inicial é . Vamos determinar quais são os pontos problemáticos mais próximos a partir de :
Ponto à esquerda:
Pontos à direita:
Portanto, os limites do intervalo seguro estão entre e .
Passo 6
Concluímos que o maior intervalo no qual a equação diferencial possui uma única solução duas vezes diferenciável, considerando o ponto inicial , é:
Resposta
O maior intervalo onde o problema de valor inicial tem uma única solução duas vezes diferenciável é .