Determine o maior intervalo no qual o problema de valor inicial dado certamente tem uma única solução duas vezes diferenciável.
(f) l(x-2) y^prime prime+y^prime+(x-2)[tg(x)] y=0 y(3)=1 y^prime(3)=2

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar os conhecimentos que precisamos. A questão quer que a gente encontre o maior intervalo no qual o problema de valor inicial fornecido tem uma única solução que é duas vezes diferenciável. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre equações diferenciais lineares e condições de existência e unicidade das soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a equação diferencial dada:
(x-2) y'' + y' + (x-2)tan(x) y = 0
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem. Para que exista uma única solução para o problema de valor inicial, os coeficientes da equação devem ser contínuos no intervalo considerado.

Passo 3

Vamos identificar onde os coeficientes da equação são contínuos:
  1. Coeficiente de :
    • Esse coeficiente é contínuo em todo lugar, exceto quando , onde ele se anula.
  2. Coeficiente de :
    • Esse coeficiente é constante e, portanto, contínuo em todo o domínio.
  3. Coeficiente de :
    • A função é contínua exceto em , onde é inteiro, pois nesses pontos a tangente apresenta assíntotas verticais.

Passo 4

Agora, vamos identificar os pontos onde a equação pode não ter solução única:
  • : Aqui, o coeficiente de se torna zero, o que pode causar problemas na unicidade da solução.
  • : Nestes pontos, não é definida, o que também impede a existência de uma solução contínua.

Passo 5

Nosso ponto inicial é . Vamos determinar quais são os pontos problemáticos mais próximos a partir de :
  • Ponto à esquerda:
  • Pontos à direita:
Portanto, os limites do intervalo seguro estão entre e .

Passo 6

Concluímos que o maior intervalo no qual a equação diferencial possui uma única solução duas vezes diferenciável, considerando o ponto inicial (2, 3pi2) , é:

Resposta

O maior intervalo onde o problema de valor inicial tem uma única solução duas vezes diferenciável é .

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