Calcule a integral de contorno ointC(e^zz+3-3 barz) d z, onde C é a circunferência unitária |z|=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de contorno: ointC(e^zz+3-3 z) dz, onde C é a circunferência unitária |z|=1. Aqui, estamos trabalhando com Cálculo Complexo, especificamente com integrais de contorno. Para resolver isso, vamos precisar conhecer o teorema de Cauchy sobre integrais de funções analíticas e entender como lidar com termos que envolvem a conjugada de z.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
ointC e^zz+3 , dz - 3 ointC z , dz
Agora, vamos resolver cada integral separadamente.

Passo 3

Vamos focar na primeira integral: ointC e^zz+3 , dz
Aqui, temos uma função analítica e^zz+3, e precisamos verificar se há singularidades dentro do contorno C.

Passo 4

A singularidade ocorre quando o denominador é zero: z + 3 = 0 Rightarrow z = -3. Mas C é a circunferência unitária |z|=1, e |-3| = 3 > 1, então não há singularidades dentro de C.
Pelo Teorema de Cauchy, se uma função é analítica dentro e sobre um contorno fechado, a integral ao longo desse contorno é zero.

Passo 5

Portanto, a primeira integral é zero:
ointC e^zz+3 , dz = 0

Passo 6

Agora, vamos resolver a segunda integral: ointC z , dz
Aqui, z é a conjugada de z. Mas, em análise complexa, a conjugada de z não é uma função analítica, o que complica o uso dos teoremas convencionais de integração de funções holomorfas.

Passo 7

No entanto, podemos parametrizar o contorno C para resolver a integral. Usamos a parametrização z = e^itheta, onde theta varia de 0 a 2pi. Assim, z = e^-itheta e dz = i e^itheta dtheta.

Passo 8

Substituindo na integral:
ointC z , dz = integral0^2pi e^-itheta cdot i e^itheta , dtheta = i integral0^2pi e^-itheta e^itheta , dtheta = i integral0^2pi 1 , dtheta = i [theta]0^2pi = i (2pi - 0) = 2pi i

Passo 9

Multiplicando pelo coeficiente que estava na integral original:
-3 ointC z , dz = -3 cdot 2pi i = -6pi i

Resposta

A integral de contorno é igual a -6pi i.

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