Calcule a integral de contorno
, onde
é a circunferência unitária
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral de contorno:
onde
é a circunferência unitária
. Aqui, estamos trabalhando com Cálculo Complexo, especificamente com integrais de contorno. Para resolver isso, vamos precisar conhecer o teorema de Cauchy sobre integrais de funções analíticas e entender como lidar com termos que envolvem a conjugada de
.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
Agora, vamos resolver cada integral separadamente.
Passo 3
Vamos focar na primeira integral:
Aqui, temos uma função analítica
, e precisamos verificar se há singularidades dentro do contorno
.
Passo 4
A singularidade ocorre quando o denominador é zero:
. Mas
é a circunferência unitária
, e
, então não há singularidades dentro de
.
Pelo Teorema de Cauchy, se uma função é analítica dentro e sobre um contorno fechado, a integral ao longo desse contorno é zero.
Passo 5
Portanto, a primeira integral é zero:
Passo 6
Agora, vamos resolver a segunda integral:
Aqui,
é a conjugada de
. Mas, em análise complexa, a conjugada de
não é uma função analítica, o que complica o uso dos teoremas convencionais de integração de funções holomorfas.
Passo 7
No entanto, podemos parametrizar o contorno
para resolver a integral. Usamos a parametrização
, onde
varia de
a
. Assim,
e
.
Passo 8
Substituindo na integral:
Passo 9
Multiplicando pelo coeficiente que estava na integral original:
Resposta
A integral de contorno é igual a
.
Exercícios relacionados
Use qualquer um dos resultados obtidos com o Teorema de Cauchy-Goursat para domínios simples e multiplamente conexos para calcular a integral dada ao longo dos contornos fechados indicados.
(b)
(b)
Estude os sinais das seguintes funções::
Utilize a antiderivada para calcular as integrais dadas. Escreva a resposta na forma
.
©
©
Calcule a integral
, onde
é um percurso com aspecto do número oito deitado. O contorno
é simétrico ao eixo real. A autointersecção da curva ocorre no eixo real. As três intersecções da curva no eixo real ocorrem uma no eixo negativo, uma entre os pontos
e
e uma após o ponto
. Ao lado direito do ponto
, a curva aparenta estar no sentido positivo, ou anti-horário.