Calcule a integral de contorno , onde é a circunferência unitária .

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral de contorno: onde é a circunferência unitária . Aqui, estamos trabalhando com Cálculo Complexo, especificamente com integrais de contorno. Para resolver isso, vamos precisar conhecer o teorema de Cauchy sobre integrais de funções analíticas e entender como lidar com termos que envolvem a conjugada de .

Passo 2

Primeiro, vamos separar a integral em duas partes para facilitar:
Agora, vamos resolver cada integral separadamente.

Passo 3

Vamos focar na primeira integral:
Aqui, temos uma função analítica , e precisamos verificar se há singularidades dentro do contorno .

Passo 4

A singularidade ocorre quando o denominador é zero: . Mas é a circunferência unitária , e , então não há singularidades dentro de .
Pelo Teorema de Cauchy, se uma função é analítica dentro e sobre um contorno fechado, a integral ao longo desse contorno é zero.

Passo 5

Portanto, a primeira integral é zero:

Passo 6

Agora, vamos resolver a segunda integral:
Aqui, é a conjugada de . Mas, em análise complexa, a conjugada de não é uma função analítica, o que complica o uso dos teoremas convencionais de integração de funções holomorfas.

Passo 7

No entanto, podemos parametrizar o contorno para resolver a integral. Usamos a parametrização , onde varia de a . Assim, e .

Passo 8

Substituindo na integral:

Passo 9

Multiplicando pelo coeficiente que estava na integral original:

Resposta

A integral de contorno é igual a .

Exercícios relacionados

Use qualquer um dos resultados obtidos com o Teorema de Cauchy-Goursat para domínios simples e multiplamente conexos para calcular a integral dada ao longo dos contornos fechados indicados.
(b)
Estude os sinais das seguintes funções::
Utilize a antiderivada para calcular as integrais dadas. Escreva a resposta na forma .
©
Calcule a integral , onde é um percurso com aspecto do número oito deitado. O contorno é simétrico ao eixo real. A autointersecção da curva ocorre no eixo real. As três intersecções da curva no eixo real ocorrem uma no eixo negativo, uma entre os pontos e e uma após o ponto . Ao lado direito do ponto , a curva aparenta estar no sentido positivo, ou anti-horário.