Utilize a antiderivada para calcular as integrais dadas. Escreva a resposta na forma .
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Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral de no intervalo de até usando a antiderivada. Aqui, estamos trabalhando com cálculo de integrais envolvendo funções hiperbólicas, especificamente a função cosseno hiperbólico . Para resolver isso, vamos precisar encontrar uma antiderivada da e então aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma antiderivada. A antiderivada de uma função é outra função cuja derivada é a função original. No caso da , sabemos pela derivada das funções hiperbólicas que:
Então, uma antiderivada de é .

Passo 3

Agora, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz que:
onde é uma antiderivada de . No nosso caso, , então:

Passo 4

Vamos calcular , onde é um número real. Sabemos que:
Então:

Passo 5

Substituindo esses valores na expressão da integral:

Resposta

A integral é igual a .

Exercícios relacionados

Calcule a integral de contorno , onde é a circunferência unitária .
Use qualquer um dos resultados obtidos com o Teorema de Cauchy-Goursat para domínios simples e multiplamente conexos para calcular a integral dada ao longo dos contornos fechados indicados.
(b)
Calcule a integral , onde é um percurso com aspecto do número oito deitado. O contorno é simétrico ao eixo real. A autointersecção da curva ocorre no eixo real. As três intersecções da curva no eixo real ocorrem uma no eixo negativo, uma entre os pontos e e uma após o ponto . Ao lado direito do ponto , a curva aparenta estar no sentido positivo, ou anti-horário.
Mostre que para cada uma das funções a seguir, considerando que é a circunferência unitária .
(a)