Utilize a antiderivada para calcular as integrais dadas. Escreva a resposta na forma
.
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral de
no intervalo de
até
usando a antiderivada. Aqui, estamos trabalhando com cálculo de integrais envolvendo funções hiperbólicas, especificamente a função cosseno hiperbólico
. Para resolver isso, vamos precisar encontrar uma antiderivada da
e então aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma antiderivada. A antiderivada de uma função é outra função cuja derivada é a função original. No caso da
, sabemos pela derivada das funções hiperbólicas que:
Então, uma antiderivada de
é
.
Passo 3
Agora, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz que:
onde
é uma antiderivada de
. No nosso caso,
, então:
Passo 4
Vamos calcular
, onde
é um número real. Sabemos que:
Então:
Passo 5
Substituindo esses valores na expressão da integral:
Resposta
A integral
é igual a
.
Exercícios relacionados
Calcule a integral de contorno
, onde
é a circunferência unitária
.
Use qualquer um dos resultados obtidos com o Teorema de Cauchy-Goursat para domínios simples e multiplamente conexos para calcular a integral dada ao longo dos contornos fechados indicados.
(b)
(b)
Calcule a integral
, onde
é um percurso com aspecto do número oito deitado. O contorno
é simétrico ao eixo real. A autointersecção da curva ocorre no eixo real. As três intersecções da curva no eixo real ocorrem uma no eixo negativo, uma entre os pontos
e
e uma após o ponto
. Ao lado direito do ponto
, a curva aparenta estar no sentido positivo, ou anti-horário.
Mostre que
para cada uma das funções a seguir, considerando que
é a circunferência unitária
.
(a)
(a)