Utilize a antiderivada para calcular as integrais dadas. Escreva a resposta na forma a+i b.
© integralpi i^2 pi i cosh z d z

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular a integral de cosh z no intervalo de pi i até 2pi i usando a antiderivada. Aqui, estamos trabalhando com cálculo de integrais envolvendo funções hiperbólicas, especificamente a função cosseno hiperbólico cosh z. Para resolver isso, vamos precisar encontrar uma antiderivada da cosh z e então aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma antiderivada. A antiderivada de uma função é outra função cuja derivada é a função original. No caso da cosh z, sabemos pela derivada das funções hiperbólicas que:
ddz sinh z = cosh z
Então, uma antiderivada de cosh z é sinh z.

Passo 3

Agora, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo, que nos diz que:
integrala^b f(z) , dz = F(b) - F(a)
onde F(z) é uma antiderivada de f(z). No nosso caso, F(z) = sinh z, então:
integralpi i^2pi i cosh z , dz = sinh(2pi i) - sinh(pi i)

Passo 4

Vamos calcular sinh(theta i), onde theta é um número real. Sabemos que:
sinh(theta i) = i sin theta
Então:
sinh(2pi i) = i sin(2pi) = i cdot 0 = 0
sinh(pi i) = i sin(pi) = i cdot 0 = 0

Passo 5

Substituindo esses valores na expressão da integral:
integralpi i^2pi i cosh z , dz = 0 - 0 = 0

Resposta

A integral integralpi i^2pi i cosh z , dz é igual a 0 + i,0.

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