Use qualquer um dos resultados obtidos com o Teorema de Cauchy-Goursat para domínios simples e multiplamente conexos para calcular a integral dada ao longo dos contornos fechados indicados.
(b) ointC zz^2-pi^2 d z ;|z|=3

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular a integral de contorno:
ointC zz^2-pi^2 , dz onde |z|=3
Para isso, vamos usar o Teorema de Cauchy-Goursat, que é uma ferramenta poderosa no cálculo de integrais de funções complexas ao longo de contornos fechados. Vamos precisar identificar os pontos singulares da função dentro do contorno para aplicar o teorema corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função que está dentro da integral:
f(z) = zz^2-pi^2
Os pontos onde essa função não é analítica (ou seja, onde ela tem singularidades) são os valores de z^2 - pi^2 = 0 Rightarrow z = pi ou z = -pi que anulam o denominador:
Então, nossos pontos singulares são e .

Passo 3

Agora, vamos verificar se esses pontos singulares estão dentro do contorno pi approx 3,1416 .
Sabemos que:
|pi| approx 3,1416 > 3 e |-pi| = |pi| approx 3,1416 > 3
Logo,
Portanto, nenhum dos pontos singulares e está dentro do contorno .

Passo 4

Segundo o Teorema de Cauchy-Goursat, se uma função é analítica em todo o domínio interior de um contorno fechado e na própria curva, então a integral ao longo desse contorno é zero.
Como identificamos que não há pontos singulares dentro do contorno , a função é analítica em todo o interior e na curva do contorno.

Resposta

ointC zz^2-pi^2 , dz = 0

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