Use qualquer um dos resultados obtidos com o Teorema de Cauchy-Goursat para domínios simples e multiplamente conexos para calcular a integral dada ao longo dos contornos fechados indicados.
(b)
(b)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular a integral de contorno:
Para isso, vamos usar o Teorema de Cauchy-Goursat, que é uma ferramenta poderosa no cálculo de integrais de funções complexas ao longo de contornos fechados. Vamos precisar identificar os pontos singulares da função dentro do contorno para aplicar o teorema corretamente.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a função que está dentro da integral:
Os pontos onde essa função não é analítica (ou seja, onde ela tem singularidades) são os valores de
que anulam o denominador:
Então, nossos pontos singulares são
e
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se esses pontos singulares estão dentro do contorno
.
Sabemos que:
Logo,
Portanto, nenhum dos pontos singulares
e
está dentro do contorno
.
Passo 4
Segundo o Teorema de Cauchy-Goursat, se uma função é analítica em todo o domínio interior de um contorno fechado e na própria curva, então a integral ao longo desse contorno é zero.
Como identificamos que não há pontos singulares dentro do contorno
, a função
é analítica em todo o interior e na curva do contorno.
Resposta
Exercícios relacionados
Estude os sinais das seguintes funções::
Diferencie a função a seguir, fornecendo a região apropriada na qual as funções são analíticas. Justifique suas respostas.
(d)
(d)
Calcule a integral de contorno
, onde
é a circunferência unitária
.
Utilize a antiderivada para calcular as integrais dadas. Escreva a resposta na forma
.
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