Use qualquer um dos resultados obtidos com o Teorema de Cauchy-Goursat para domínios simples e multiplamente conexos para calcular a integral dada ao longo dos contornos fechados indicados.
(b)

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular a integral de contorno:
Para isso, vamos usar o Teorema de Cauchy-Goursat, que é uma ferramenta poderosa no cálculo de integrais de funções complexas ao longo de contornos fechados. Vamos precisar identificar os pontos singulares da função dentro do contorno para aplicar o teorema corretamente.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função que está dentro da integral:
Os pontos onde essa função não é analítica (ou seja, onde ela tem singularidades) são os valores de que anulam o denominador:
Então, nossos pontos singulares são e .

Passo 3

Agora, vamos verificar se esses pontos singulares estão dentro do contorno .
Sabemos que:
Logo,
Portanto, nenhum dos pontos singulares e está dentro do contorno .

Passo 4

Segundo o Teorema de Cauchy-Goursat, se uma função é analítica em todo o domínio interior de um contorno fechado e na própria curva, então a integral ao longo desse contorno é zero.
Como identificamos que não há pontos singulares dentro do contorno , a função é analítica em todo o interior e na curva do contorno.

Resposta

Exercícios relacionados

Estude os sinais das seguintes funções::
Diferencie a função a seguir, fornecendo a região apropriada na qual as funções são analíticas. Justifique suas respostas.
(d)
Calcule a integral de contorno , onde é a circunferência unitária .
Utilize a antiderivada para calcular as integrais dadas. Escreva a resposta na forma .
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