Calcule a integral ointC 3 z+1z(z-2)^2 d z, onde C é um percurso com aspecto do número oito deitado. O contorno C é simétrico ao eixo real. A autointersecção da curva ocorre no eixo real. As três intersecções da curva no eixo real ocorrem uma no eixo negativo, uma entre os pontos z=0 e z=2 e uma após o ponto z=2. Ao lado direito do ponto z=2, a curva aparenta estar no sentido positivo, ou anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral complexa . O contorno tem o formato de um número oito deitado, simétrico ao eixo real. Para resolver essa integral, vamos usar o teorema dos resíduos, que nos ajuda a calcular integrais ao redor de contornos fechados identificando os “resíduos” das funções dentro do contorno.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos singulares da função dentro da integral. Os pontos onde a função não é analítica são onde o denominador é zero:
Esses são os pontos onde temos singularidades. Precisamos verificar quais deles estão dentro do contorno .

Passo 3

O contorno é um número oito deitado que se intercepta no eixo real em três pontos:
  1. Um ponto no eixo real negativo ( )
  2. Um ponto entre e
  3. Um ponto após
Dessa forma, os pontos e estão dentro do contorno , porque o contorno passa por eles de uma maneira que envolve essas singularidades.

Passo 4

Agora, vamos calcular os resíduos da função em cada ponto singular dentro de Res(f, 0) = limz to 0 z cdot 3 z + 1z(z - 2)^2 = limz to 0 3 z + 1(z - 2)^2 = 14 .
Para Res(f, 2) = limz to 2 ddz [(z - 2)^2 cdot 3 z + 1z(z - 2)^2] = limz to 2 ddz (3 z + 1z) :
A função tem um polo simples em ddz (3 z + 1z) = 3 z - (3 z + 1)z^2 = -1z^2 . O resíduo é dado por:
Res(f, 2) = -1(2)^2 = -14
Para :
A função tem um polo de ordem 2 em . O resíduo para um polo de segunda ordem é calculado usando a derivada:
Calculando a derivada:
Então,

Passo 5

Agora que temos os resíduos, aplicamos o teorema dos resíduos, que afirma que a integral ao redor de ointC 3 z + 1z(z - 2)^2 , dz = 2pi i ( Res(f, 0) + Res(f, 2) ) = 2pi i ( 14 - 14 ) = 2pi i cdot 0 = 0 é igual a vezes a soma dos resíduos dentro de :

Resposta

A integral é igual a 0.

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