Calcule a integral , onde é um percurso com aspecto do número oito deitado. O contorno é simétrico ao eixo real. A autointersecção da curva ocorre no eixo real. As três intersecções da curva no eixo real ocorrem uma no eixo negativo, uma entre os pontos e e uma após o ponto . Ao lado direito do ponto , a curva aparenta estar no sentido positivo, ou anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral complexa . O contorno tem o formato de um número oito deitado, simétrico ao eixo real. Para resolver essa integral, vamos usar o teorema dos resíduos, que nos ajuda a calcular integrais ao redor de contornos fechados identificando os “resíduos” das funções dentro do contorno.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos singulares da função dentro da integral. Os pontos onde a função não é analítica são onde o denominador é zero:
Esses são os pontos onde temos singularidades. Precisamos verificar quais deles estão dentro do contorno .

Passo 3

O contorno é um número oito deitado que se intercepta no eixo real em três pontos:
  1. Um ponto no eixo real negativo ( )
  2. Um ponto entre e
  3. Um ponto após
Dessa forma, os pontos e estão dentro do contorno , porque o contorno passa por eles de uma maneira que envolve essas singularidades.

Passo 4

Agora, vamos calcular os resíduos da função em cada ponto singular dentro de .
Para :
A função tem um polo simples em . O resíduo é dado por:
Para :
A função tem um polo de ordem 2 em . O resíduo para um polo de segunda ordem é calculado usando a derivada:
Calculando a derivada:
Então,

Passo 5

Agora que temos os resíduos, aplicamos o teorema dos resíduos, que afirma que a integral ao redor de é igual a vezes a soma dos resíduos dentro de :

Resposta

A integral é igual a 0.

Exercícios relacionados

Utilize a antiderivada para calcular as integrais dadas. Escreva a resposta na forma .
©
Calcule a integral de contorno , onde é a circunferência unitária .
Mostre que para cada uma das funções a seguir, considerando que é a circunferência unitária .
(a)
Calcule a integral , usando (a) um percurso alternativo de integração e (b) a antiderivada. Considere que o contorno tem como ponto inicial e ponto terminal . A curva se comporta como uma circunferência centrada na origem, de raio unitário, até , tornando-se um segmento de reta ligando e o ponto terminal.