Calcule a integral
, onde
é um percurso com aspecto do número oito deitado. O contorno
é simétrico ao eixo real. A autointersecção da curva ocorre no eixo real. As três intersecções da curva no eixo real ocorrem uma no eixo negativo, uma entre os pontos
e
e uma após o ponto
. Ao lado direito do ponto
, a curva aparenta estar no sentido positivo, ou anti-horário.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que calcular a integral complexa
. O contorno
tem o formato de um número oito deitado, simétrico ao eixo real. Para resolver essa integral, vamos usar o teorema dos resíduos, que nos ajuda a calcular integrais ao redor de contornos fechados identificando os “resíduos” das funções dentro do contorno.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pontos singulares da função dentro da integral. Os pontos onde a função
não é analítica são onde o denominador é zero:
Esses são os pontos onde temos singularidades. Precisamos verificar quais deles estão dentro do contorno
.
Passo 3
O contorno
é um número oito deitado que se intercepta no eixo real em três pontos:
- Um ponto no eixo real negativo (
) - Um ponto entre
e - Um ponto após
Dessa forma, os pontos
e
estão dentro do contorno
, porque o contorno passa por eles de uma maneira que envolve essas singularidades.
Passo 4
Agora, vamos calcular os resíduos da função em cada ponto singular dentro de
.
Para
:
A função tem um polo simples em
. O resíduo é dado por:
Para
:
A função tem um polo de ordem 2 em
. O resíduo para um polo de segunda ordem é calculado usando a derivada:
Calculando a derivada:
Então,
Passo 5
Agora que temos os resíduos, aplicamos o teorema dos resíduos, que afirma que a integral ao redor de
é igual a
vezes a soma dos resíduos dentro de
:
Resposta
A integral
é igual a 0.