Calcule a integral em coordenadas polares para a área da região dentro da curva .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a área da região dentro da curva usando coordenadas polares. A gente vai usar um pouco de cálculo integral em coordenadas polares para isso. Basicamente, precisamos configurar e calcular uma integral que nos dará a área desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como é essa curva . Essa é a equação de um círculo em coordenadas polares. O faz com que o círculo fique localizado acima do eixo polar. Se a gente desenhar, vai ver que o círculo tem raio 2 e está centrado no ponto em coordenadas cartesianas.

Passo 3

Agora, precisamos determinar os limites de integração para . Como o círculo está completo quando varia de a , vamos usar esses valores como limites. Ou seja, vai de a .

Passo 4

A fórmula para calcular a área em coordenadas polares é:
Aqui, , e . Vamos substituir esses valores na fórmula.

Passo 5

Substituindo os valores na fórmula, temos:
Calculando o quadrado de :
Para integrar , usamos a identidade trigonométrica:
Então, a integral fica:
Integrando termo a termo:

Resposta

A área da região dentro da curva é unidades de área.

Exercícios relacionados

Determine o comprimento da curva para .
Escreva a definição da integral de superfície de uma função escalar sobre uma superfície .
(a) Encontre a inclinação da reta tangente à curva no ponto
(i) usando a Definição 1.
(ii) usando a Equação 2.
(b) Encontre a equação da reta tangente da parte (a).
© Faça um gráfico da curva e da reta tangente em janelas retangulares cada vez menores centrados no ponto até que a curva e a tangente pareçam indistinguíveis.
Trace o gráfico da equação polar e encontre a área interna.