Calcule a integral em coordenadas polares para a área da região dentro da curva r = 4 sen(θ).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a área da região dentro da curva usando coordenadas polares. A gente vai usar um pouco de cálculo integral em coordenadas polares para isso. Basicamente, precisamos configurar e calcular uma integral que nos dará a área desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como é essa curva . Essa é a equação de um círculo em coordenadas polares. O faz com que o círculo fique localizado acima do eixo polar. Se a gente desenhar, vai ver que o círculo tem raio 2 e está centrado no ponto em coordenadas cartesianas.

Passo 3

Agora, precisamos determinar os limites de integração para . Como o círculo está completo quando varia de a , vamos usar esses valores como limites. Ou seja, vai de a .

Passo 4

A fórmula para calcular a área em coordenadas polares é:
Aqui, , e . Vamos substituir esses valores na fórmula.

Passo 5

Substituindo os valores na fórmula, temos:
Calculando o quadrado de :
Para integrar , usamos a identidade trigonométrica:
Então, a integral fica:
Integrando termo a termo:

Resposta

A área da região dentro da curva é unidades de área.

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