Calcule a integral em coordenadas polares para a área da região dentro da curva
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a área da região dentro da curva
usando coordenadas polares. A gente vai usar um pouco de cálculo integral em coordenadas polares para isso. Basicamente, precisamos configurar e calcular uma integral que nos dará a área desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como é essa curva
. Essa é a equação de um círculo em coordenadas polares. O
faz com que o círculo fique localizado acima do eixo polar. Se a gente desenhar, vai ver que o círculo tem raio 2 e está centrado no ponto
em coordenadas cartesianas.
Passo 3
Agora, precisamos determinar os limites de integração para
. Como o círculo está completo quando
varia de
a
, vamos usar esses valores como limites. Ou seja,
vai de
a
.
Passo 4
A fórmula para calcular a área
em coordenadas polares é:
Aqui,
,
e
. Vamos substituir esses valores na fórmula.
Passo 5
Substituindo os valores na fórmula, temos:
Calculando o quadrado de
:
Para integrar
, usamos a identidade trigonométrica:
Então, a integral fica:
Integrando termo a termo:
Resposta
A área da região dentro da curva
é
unidades de área.
Exercícios relacionados
Determine o comprimento da curva
para
.
Escreva a definição da integral de superfície de uma função escalar
sobre uma superfície
.
(a) Encontre a inclinação da reta tangente à curva
no ponto
(i) usando a Definição 1.
(ii) usando a Equação 2.
(b) Encontre a equação da reta tangente da parte (a).
© Faça um gráfico da curva e da reta tangente em janelas retangulares cada vez menores centrados no ponto até que a curva e a tangente pareçam indistinguíveis.
(i) usando a Definição 1.
(ii) usando a Equação 2.
(b) Encontre a equação da reta tangente da parte (a).
© Faça um gráfico da curva e da reta tangente em janelas retangulares cada vez menores centrados no ponto
Trace o gráfico da equação polar
e encontre a área interna.