Determine o comprimento da curva para .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o comprimento da curva dada pela equação polar para . Isso envolve conhecimentos de cálculo, especialmente de cálculo integral aplicado a curvas no sistema de coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de uma curva no sistema polar. A fórmula é:
Aqui, é a função que define a curva, é o ângulo, e e são os limites de integração, que no nosso caso são e .

Passo 3

Vamos começar calculando a derivada de em relação a . Nossa função é , então:

Passo 4

Agora, vamos calcular e :

Passo 5

Vamos somar essas duas expressões:
Sabemos que , então:

Passo 6

Agora, substituímos de volta na fórmula do comprimento:
Vamos simplificar a raiz quadrada usando a identidade trigonométrica :

Passo 7

Como é positivo entre e e negativo entre e , podemos dividir a integral em duas partes:
Mas, por simetria, essas duas integrais são iguais. Então:

Passo 8

Vamos resolver a integral:
Fazendo a substituição , então ou :

Passo 9

Aplicando os limites de integração:

Resposta

O comprimento da curva é 8 unidades.

Exercícios relacionados

Escreva a definição da integral de superfície de uma função escalar sobre uma superfície .
Escreva expressões para a área delimitada pela curva em termos da integral de linha em torno de .
Calcule a integral em coordenadas polares para a área da região dentro da curva .
(a) Encontre a inclinação da reta tangente à curva no ponto
(i) usando a Definição 1.
(ii) usando a Equação 2.
(b) Encontre a equação da reta tangente da parte (a).
© Faça um gráfico da curva e da reta tangente em janelas retangulares cada vez menores centrados no ponto até que a curva e a tangente pareçam indistinguíveis.