Determine o comprimento da curva r = 1 + cos(θ) para 0 <= theta <= 2 pi.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o comprimento da curva dada pela equação polar para . Isso envolve conhecimentos de cálculo, especialmente de cálculo integral aplicado a curvas no sistema de coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de uma curva no sistema polar. A fórmula é:
Aqui, é a função que define a curva, é o ângulo, e e são os limites de integração, que no nosso caso são e .

Passo 3

Vamos começar calculando a derivada de em relação a . Nossa função é , então:

Passo 4

Agora, vamos calcular e :

Passo 5

Vamos somar essas duas expressões:
Sabemos que , então:

Passo 6

Agora, substituímos de volta na fórmula do comprimento:
Vamos simplificar a raiz quadrada usando a identidade trigonométrica :

Passo 7

Como é positivo entre e e negativo entre e , podemos dividir a integral em duas partes:
Mas, por simetria, essas duas integrais são iguais. Então:

Passo 8

Vamos resolver a integral:
Fazendo a substituição , então ou :

Passo 9

Aplicando os limites de integração:

Resposta

O comprimento da curva é 8 unidades.

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