Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o comprimento da curva dada pela equação polar para . Isso envolve conhecimentos de cálculo, especialmente de cálculo integral aplicado a curvas no sistema de coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de uma curva no sistema polar. A fórmula é:
Aqui, é a função que define a curva, é o ângulo, e e são os limites de integração, que no nosso caso são e .
Passo 3
Vamos começar calculando a derivada de em relação a . Nossa função é , então:
Passo 4
Agora, vamos calcular e :
Passo 5
Vamos somar essas duas expressões:
Sabemos que , então:
Passo 6
Agora, substituímos de volta na fórmula do comprimento:
Vamos simplificar a raiz quadrada usando a identidade trigonométrica :
Passo 7
Como é positivo entre e e negativo entre e , podemos dividir a integral em duas partes:
Mas, por simetria, essas duas integrais são iguais. Então: