Escreva a definição da integral de superfície de uma função escalar sobre uma superfície .
Passo 1
Então, vamos lá! Você pediu para a gente escrever a definição da integral de superfície de uma função escalar sobre uma superfície . Isso faz parte do cálculo multivariável, mais especificamente das integrais múltiplas que lidam com superfícies no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar entender como parametrizar uma superfície e como calcular a área diferencial dessa superfície.
Passo 2
Primeiro, vamos falar sobre parametrização de superfícies. Imagine que você tem uma superfície no espaço 3D. Para facilitar os cálculos, a gente pode descrever essa superfície usando duas variáveis, digamos e , que variam em certo intervalo. Assim, podemos escrever um vetor posição que dá a posição de cada ponto na superfície em termos de e .
Passo 3
Com a parametrização pronta, o próximo passo é encontrar a área diferencial da superfície. Isso representa um pedacinho infinitesimal da superfície, uma “folhinha” bem pequena onde vamos somar os valores da função . Para calcular , a gente usa o produto vetorial dos vetores derivadas parciais de em relação a e . Ou seja:
Passo 4
Agora, com a área diferencial em mãos, podemos definir a integral de superfície da função escalar sobre a superfície . A ideia é somar o valor da função em cada ponto da superfície, multiplicado pela área diferencial naquele ponto. Isso nos dá a integral total da função sobre toda a superfície.
Resposta
A definição da integral de superfície de uma função escalar sobre uma superfície é dada por:
Aqui, é a parametrização da superfície usando as variáveis e , e é a região no plano correspondente à superfície .