Considere a função com as seguintes informações: f não possui raízes, .
Esboce o gráfico da função .
Passo 1
Beleza, então o que a gente tem aqui é um exercício pra esboçar o gráfico da função . A gente sabe algumas coisinhas sobre a função : ela não tem raízes (ou seja, nunca cruza o eixo x), temos os limites dela quando vai pra infinito positivo e negativo, e pra zero pela direita e pela esquerda. Além disso, conhecemos a primeira e a segunda derivada de . Vamos usar tudo isso pra entender como se comporta. O que a gente vai precisar aqui é entender limites, derivadas e como o valor absoluto afeta o gráfico de uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar os limites da função :
: Quando se aproxima de zero pela direita, vai pra mais infinito.
: Quando se aproxima de zero pela esquerda, se aproxima de zero.
: Quando vai pra menos infinito, vai pra menos infinito.
: Quando vai pra mais infinito, vai pra mais infinito.
Esses limites nos dão uma ideia geral de como se comporta nos extremos e perto de zero.
Passo 3
Agora, vamos dar uma olhada nas derivadas de :
Primeira derivada:
Segunda derivada:
A primeira derivada nos diz se a função está aumentando ou diminuindo:
Se , a função está crescendo.
Se , a função está decrescendo.
A segunda derivada nos informa sobre a concavidade da função:
Se , a função é côncava para cima.
Se , a função é côncava para baixo.
Vamos analisar onde é positiva ou negativa para entender o crescimento da função.
Passo 4
Vamos simplificar a expressão da primeira derivada para determinar onde ela é positiva ou negativa:
Sabemos que é sempre positivo para todo . Então, o sinal de depende apenas do termo :
Para : (positiva).
Para : (negativa).
Para : depende do valor específico, mas como é negativo e também é negativo, o quociente será positivo.
Então:
está crescendo quando e .
está decrescendo quando .
Quanto à concavidade, como :
Para , é positivo, então : concava para cima.
Para , é negativo, então : concava para baixo.
Passo 5
Agora que entendemos o comportamento de , vamos pensar em . O valor absoluto vai “refletir” os valores negativos de para cima, tornando todos os valores de positivos ou zero.
Considerando que não tem raízes, nunca será zero. Além disso:
Onde é positiva, .
Onde é negativa, .
Então, o gráfico de vai ter apenas valores acima do eixo x, e será simétrico em relação ao eixo x nos intervalos onde era negativa.
Resposta
O gráfico de será assimétrico em relação ao eixo y, começando de a com negativo, refletido acima do eixo x pela aplicação do valor absoluto. Próximo a , haverá uma assimptota vertical onde tende a pela direita e se aproxima de zero pela esquerda. Para tendendo a , também tende a . A concavidade será para cima em e para baixo em . O gráfico apresentará crescimento em e , e decrescimento entre , sempre permanecendo acima do eixo x devido ao valor absoluto.