Considere a função
com as seguintes informações: f não possui raízes,
.
Esboce o gráfico da função
.
Esboce o gráfico da função
Passo 1
Beleza, então o que a gente tem aqui é um exercício pra esboçar o gráfico da função
. A gente sabe algumas coisinhas sobre a função
: ela não tem raízes (ou seja, nunca cruza o eixo x), temos os limites dela quando
vai pra infinito positivo e negativo, e pra zero pela direita e pela esquerda. Além disso, conhecemos a primeira e a segunda derivada de
. Vamos usar tudo isso pra entender como
se comporta. O que a gente vai precisar aqui é entender limites, derivadas e como o valor absoluto afeta o gráfico de uma função.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar os limites da função
:
-
: Quando se aproxima de zero pela direita, vai pra mais infinito. -
: Quando se aproxima de zero pela esquerda, se aproxima de zero. -
: Quando vai pra menos infinito, vai pra menos infinito. -
: Quando vai pra mais infinito, vai pra mais infinito.
Esses limites nos dão uma ideia geral de como
se comporta nos extremos e perto de zero.
Passo 3
Agora, vamos dar uma olhada nas derivadas de
:
- Primeira derivada:
- Segunda derivada:
A primeira derivada nos diz se a função está aumentando ou diminuindo:
- Se
, a função está crescendo. - Se
, a função está decrescendo.
A segunda derivada nos informa sobre a concavidade da função:
- Se
, a função é côncava para cima. - Se
, a função é côncava para baixo.
Vamos analisar onde
é positiva ou negativa para entender o crescimento da função.
Passo 4
Vamos simplificar a expressão da primeira derivada para determinar onde ela é positiva ou negativa:
Sabemos que
é sempre positivo para todo
. Então, o sinal de
depende apenas do termo
:
- Para
: (positiva). - Para
: (negativa). - Para
: depende do valor específico, mas como é negativo e também é negativo, o quociente será positivo.
Então:
-
está crescendo quando e . -
está decrescendo quando .
Quanto à concavidade, como
:
- Para
, é positivo, então : concava para cima. - Para
, é negativo, então : concava para baixo.
Passo 5
Agora que entendemos o comportamento de
, vamos pensar em
. O valor absoluto vai “refletir” os valores negativos de
para cima, tornando todos os valores de
positivos ou zero.
Considerando que
não tem raízes,
nunca será zero. Além disso:
- Onde
é positiva, . - Onde
é negativa, .
Então, o gráfico de
vai ter apenas valores acima do eixo x, e será simétrico em relação ao eixo x nos intervalos onde
era negativa.
Resposta
O gráfico de
será assimétrico em relação ao eixo y, começando de
a
com
negativo, refletido acima do eixo x pela aplicação do valor absoluto. Próximo a
, haverá uma assimptota vertical onde
tende a
pela direita e se aproxima de zero pela esquerda. Para
tendendo a
,
também tende a
. A concavidade será para cima em
e para baixo em
. O gráfico apresentará crescimento em
e
, e decrescimento entre
, sempre permanecendo acima do eixo x devido ao valor absoluto.