Calcule a integral. integral cos ^3(t / 2) sen^2(t / 2) d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral . Vamos resolver isso usando cálculo integral, especificamente técnicas de substituição e identidades trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão usando uma identidade trigonométrica. Sabemos que cos^3x = cos x cdot cos^2x. E como , podemos reescrever:

Passo 3

Substituindo isso na integral original, temos:

Passo 4

Agora, vamos distribuir os termos dentro da integral:

Passo 5

Para simplificar a resolução, vamos fazer uma substituição. Seja , então:
u = sen(t2)

Passo 6

Substituindo na integral, temos:
2 integral u^2 du - 2 integral u^4 du

Passo 7

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
2 cdot u^33 - 2 cdot u^55 + C = 23 u^3 - 25 u^5 + C

Passo 8

Voltando à variável original t, lembrando que :

Resposta

A integral é igual a , onde 23 sen^3(t2) - 25 sen^5(t2) + C é a constante de integração.

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