Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a gente precisa resolver aqui. Temos o limite:
Esse exercício está relacionado a funções trigonométricas inversas, especificamente o arco cosseno, e ao cálculo de limites que podem gerar formas indeterminadas. Para resolver, vamos precisar usar propriedades de limites e derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos ver o que acontece com cada parte da expressão quando
se aproxima de 1 pela esquerda (
).
-
Numerador:
. Sabemos que porque o cosseno de 0 é 1. Então, conforme se aproxima de 1, se aproxima de 0. -
Denominador:
. Quando se aproxima de 1, se aproxima de 0, então também se aproxima de 0.
Assim, estamos diante de uma forma indeterminada do tipo
, o que indica que podemos usar a Regra de L’Hôpital para resolver o limite.
Passo 3
Vamos aplicar a Regra de L’Hôpital, que diz que se temos um limite do tipo
ou
, podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite dessas derivadas.
Primeiro, vamos derivar o numerador e o denominador em relação a
:
-
Derivada do numerador:
-
Derivada do denominador:
Passo 4
Agora, aplicando a Regra de L’Hôpital, substituímos as derivadas no lugar do numerador e denominador:
As negativas se cancelam, simplificando a expressão.
Passo 5
Vamos simplificar a expressão resultante:
Agora, observamos que conforme
se aproxima de 1,
se aproxima de 2. Então, substituímos:
Resposta
O limite vale
.