lim x 1^- arccos xraiz1-x

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a gente precisa resolver aqui. Temos o limite:
lim x 1^- arccos xraiz1-x
Esse exercício está relacionado a funções trigonométricas inversas, especificamente o arco cosseno, e ao cálculo de limites que podem gerar formas indeterminadas. Para resolver, vamos precisar usar propriedades de limites e derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos ver o que acontece com cada parte da expressão quando se aproxima de 1 pela esquerda ( ).
  • Numerador: . Sabemos que porque o cosseno de 0 é 1. Então, conforme se aproxima de 1, se aproxima de 0.
  • Denominador: . Quando se aproxima de 1, se aproxima de 0, então também se aproxima de 0.
Assim, estamos diante de uma forma indeterminada do tipo , o que indica que podemos usar a Regra de L’Hôpital para resolver o limite.

Passo 3

Vamos aplicar a Regra de L’Hôpital, que diz que se temos um limite do tipo ou , podemos derivar o numerador e o denominador separadamente e calcular o limite dessas derivadas.
Primeiro, vamos derivar o numerador e o denominador em relação a :
  • Derivada do numerador:
  • Derivada do denominador:

Passo 4

Agora, aplicando a Regra de L’Hôpital, substituímos as derivadas no lugar do numerador e denominador:
lim x 1^- arccos xraiz1-x = lim x 1^- -1raiz1 - x^2-12raiz1 - x = lim x 1^- 2raiz1 - xraiz1 - x^2
As negativas se cancelam, simplificando a expressão.

Passo 5

Vamos simplificar a expressão resultante:
2raiz1 - xraiz1 - x^2 = 2 cdot raiz1 - xraiz(1 - x)(1 + x) = 2 cdot raiz1 - xraiz1 - x cdot raiz1 + x = 2raiz1 + x
Agora, observamos que conforme 2raiz1 + x 2raiz2 = raiz2 se aproxima de 1, se aproxima de 2. Então, substituímos:

Resposta

O limite vale .

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